项目欧拉#368(数学公式)

Question

在Project Euler中,一个问题要我编写一个程序,以便从Harmonic序列中找到20个项的收敛值:

1/111, 1/222, 1/333, 1/444, 1/555, 1/666, 1/777, 1/888, 1/999, 1/1000, 1/1110, 1/1111, 1/1112, 1/1113, 1/1114, 1/1115, 1/1116, 1/1117, 1/1118, and 1/1119

我想自己编写程序来解决问题,然而,没有处理Calc II,我不得不阅读Divergence/Convergence.所有解释都涉及可以用公式表示的系列.据我所知,这个系列不能.

所以,问题是:

有没有一个公式来代表这个系列,还是有一种方法可以找到没有公式的这个系列的收敛？

Answer 1

以防任何人考虑暴力破坏:

像大多数编号较高的项目欧拉问题一样,蛮力方法将在合理的时间内完成.

假设您的计算机每秒可处理10 ^9个数字(实际上可以处理的数量少得多).综上所述有效期限长达10 ^ñ为n > 9将需要大约10 ^N-9秒.

你需要在多远的小数点后确定10个位置的总和？

足够远,所有较大有效项的总和小于10 ^-10.10 ¹²会不够远？不,请考虑下一千个号码

1001001001001

其中的无效数字是

1001001001110
1001001001111
1001001001112
...
1001001001119
1001001001222
1001001001333
1001001001444
...
1001001001999
1001001002000

那些是19,所以有981个有效数字,相应的总和大于981/1001001002000,超过9*10 ^-10.沿着这些线进行进一步推理表明,你必须蛮力远高于10 ¹⁵ - 实际上,在剩余有效项的总和小于10 ^-10之前,你必须超过10 ²⁰⁰⁰.

在宇宙开始时开始的蛮力甚至还远远不能接近可靠的答案.