x >>纯y是否等同于liftM（const y）x

Question

这两个表达

y >> pure x
liftM (const x) y

在Haskell中具有相同的类型签名。我很好奇它们是否相等，但是我既不能提供事实的证明，也不能提出反驳的例子。

如果我们重写这两个表达式以便消除x，y则问题就变成以下两个函数是否等效

flip (>>) . pure
liftM . const

请注意，这两个函数都具有type Monad m => a -> m b -> m a。

我使用了Haskell为monad，applicatives和functor给出的定律，将这两个陈述转换为各种等效形式，但是我无法在两者之间产生一系列等效关系。

例如我发现y >> pure x可以重写如下

y >>= const (pure x)
y *> pure x
(id <$ y) <*> pure x
fmap (const id) y <*> pure x

并且liftM (const x) y可以如下重写

fmap (const x) y
pure (const x) <*> y

这些对我来说并没有必然是等同的，但我无法想到在任何情况下它们都不等同。

Answer 1

另一个答案最终到达了那儿，但是走了一条漫长的路。所有这一切实际需要是的定义liftM，const以及一个单子法：m1 >> m2和m1 >>= \_ -> m2语义上必须相同。（实际上，这是的默认实现(>>)，很少会覆盖它。）然后：

liftM (const x) y
= { definition of liftM* }
y >>= \z -> pure (const x z)
= { definition of const }
y >>= \z -> pure x
= { monad law }
y >> pure x

*好吧，好吧，这样的实际定义liftM的用途return，而不是pure。随你。

Answer 2

是的，他们是一样的

让我们从开始flip (>>) . pure，这是x >> pure y您提供的无意义版本：

flip (>>) . pure

这是一个情况flip (>>)就是(=<<) . const这样，我们也可以重写此为：

((=<<) . const) . pure

由于函数组合（(.)）是关联的，我们可以这样写：

(=<<) . (const . pure)

现在我们要重写const . pure。我们可以注意到，const就pure在上(a ->)，这意味着由于pure . pureis fmap pure . pure，const . pureis (.) pure . const，（(.)是fmap函子的(a ->)）。

(=<<) . ((.) pure . const)

现在，我们再次关联：

((=<<) . (.) pure) . const

((=<<) . (.) pure)是liftM¹的定义，因此我们可以替代：

liftM . const

这就是目标。两者是相同的。

^{1：的定义liftM就是liftM f m1 = do { x1 <- m1; return (f x1) }，我们可以desugar的do进入liftM f m1 = m1 >>= return . f。我们可以翻转(>>=)for liftM f m1 = return . f =<< m1并m1消除以获得liftM f = (return . f =<<)一点毫无意义的魔法，我们得到liftM = (=<<) . (.) return}