从高度图计算法线

Question

我正在尝试使用中心差分将高度图转换为法线矩阵，该矩阵稍后将对应于给定点的陡度。

我发现了几个具有正确结果的链接，但没有解释背后的数学原理。

  T
L O R
  B

从这个链接我意识到我可以这样做：

Vec3 normal = Vec3(2*(R-L), 2*(B-T), -4).Normalize();

问题是我不知道2*和-4来自哪里。

在这个中心差分的解释中，我看到我们应该将该值除以 2，但我仍然不知道如何将所有这些联系起来。

我真正想知道的是这背后的线性代数定义。我有一个高度图，我想测量中心差异，我想获得法线向量以供稍后用于测量陡度。

PS：Z轴是高度。

Answer 1

根据矢量演算，表面的法线由梯度算子给出：

高度图h(x, y)是函数的一种特殊形式f：

对于离散化的高度图，假设网格大小为 1，上述两个导数项的一阶近似值由下式给出：

由于x从L到的步长R是 2，对于y. 上面就是你的公式，除以 4。当这个向量被归一化时，4 的因子被取消。

（在撰写此答案时没有损害线性代数）