解释为什么 x == ~(~x + 1) + 1 （二进制补码和返回！）

Question

众所周知，内存中的负数通常表示为二进制补码

from x to ~x + 1

为了回来，我们不会做明显的事情，比如

~([~x + 1] - 1)

但我们这样做

~[~x + 1] + 1

有人可以解释为什么它总是有效吗？我想我可以用 1 位、2 位、3 位数字来证明它，然后使用数学归纳法，但这并不能帮助我理解它究竟是如何工作的。

谢谢！

Answer 1

反正都是一样的。也就是说，~x + 1 == ~(x - 1)。但让我们暂时把它放在一边。

f(x) = ~x + 1是它自己的逆。证明：

~(~x + 1) + 1 =
(definition of subtraction: a - b = ~(~a + b))
x - 1 + 1 =
(you know this step)
x

还有，~x + 1 == ~(x - 1)。为什么？好，

~(x - 1) =
(definition of subtraction: a - b = ~(~a + b))
~(~(~x + 1)) =
(remove double negation)
~x + 1

那个（有点不寻常的）减法定义，a - b = ~(~a + b)？

~(~a + b) =
(use definition of two's complement, ~x = -x - 1)
-(~a + b) - 1 =
(move the 1)
-(~a + b + 1) =
(use definition of two's complement, ~x = -x - 1)
-(-a + b) =
(you know this step)
a - b