证明或反驳“T=R÷S”意味着“S=R÷T”？

Question

证明或反驳：

鉴于此T=R÷S，暗示S=R÷T.

---

我的尝试：

让我们拿一些R,S表格来划分R÷S：

第1步：

     R                           S              ==>       T=R÷S
     -------------            ---------                 -----
    | A | B | C |             | A | B |                  | C |
    | 1 | 2 | 4 |             | 1 | 2 |                  | 4 |
    | 3 | 3 | 4 |             | 3 | 3 |                  | 9 |
    | 1 | 7 | 4 |
    | 1 | 2 | 9 |
    | 1 | 2 | 8 |
    | 3 | 3 | 5 |
    | 4 | 1 | 2 |
    | 3 | 3 | 9 | 

第 2 步： 检查R÷T:

      R                          T         ==>          S
     -------------            -----                 -------
    | A | B | C |             | C |                | A | B |
    | 1 | 2 | 4 |             | 4 |                | 1 | 2 |
    | 3 | 3 | 4 |             | 9 |                | 3 | 3 |
    | 1 | 7 | 4 |
    | 1 | 2 | 9 |
    | 1 | 2 | 8 |
    | 3 | 3 | 5 |
    | 4 | 1 | 2 |
    | 3 | 3 | 9 | 

因此答案是肯定的（根据我的尝试）

我的尝试正确吗？

Answer 1

首先，您的回答是“是”，但没有任何证据，仅举一个例子。你没有证明一般情况。如果我要标记你的答案，你会得到一个直接的 0（好吧，也许是 1，因为你了解什么是关系除法以及如何执行它）和一个用于阅读数学证明的笔记。

对于实际问题，答案是：不，这是不正确的。现在为了证明这一点，我们只需要一个反例。这里是：

 R                        S          ==>    T=R÷S
 ------------         ---------             -----
| A | B | C |         | A | B |             | C |
| 1 | 2 | 4 |         | 1 | 2 |             | 4 |
| 1 | 2 | 9 |                               | 9 |
| 3 | 3 | 4 |
| 3 | 3 | 8 |
| 3 | 3 | 9 | 
| 4 | 1 | 2 |

但：

 R                      T      ==>       R÷T != S
 ------------         -----           ---------
| A | B | C |         | C |           | A | B |
| 1 | 2 | 4 |         | 4 |           | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 9 |         | 9 |           | 3 | 3 |         
| 3 | 3 | 4 |
| 3 | 3 | 8 |
| 3 | 3 | 9 | 
| 4 | 1 | 2 |

这实际上类似于整数除法（当我们丢弃余数时）。有时是的：

37 / 7 = 5 (the remainder 2 is discarded) and
37 / 5 = 7 (the remainder 2 is discarded)

有时是否：

37 / 10 = 3 (the remainder 7 is discarded) but
37 / 3 = 12 (the remainder 1 is discarded)

当然12 != 10，单个反例反驳了一般情况。

可以证明的是：

• 如果R÷S = T，则S是 的（不一定是严格的）子集R÷T。