基于Givens旋转的QR分解算法

Question

我在MATLAB中编码QR分解算法,只是为了确保我的机制正确.这是main函数的代码:

    function [Q,R] = QRgivens(A)
        n = length(A(:,1));
        Q = eye(n);
        R = A;

        for j = 1:(n-1)
            for i = n:(-1):(j+1)
                G = eye(n);
                [c,s] = GivensRotation( A(i-1,j),A(i,j) );
                G(i-1,(i-1):i) = [c s];
                G(i,(i-1):i)   = [-s c];
                Q = Q*G';
                R = G*R;
            end
        end
    end

子函数GivensRotation如下:

    function [c,s] = GivensRotation(a,b)
        if b == 0
            c = 1;
            s = 0;
        else
            if abs(b) > abs(a)
                r = -a / b;
                s = 1 / sqrt(1 + r^2);
                c = s*r;
            else
                r = -b / a;
                c = 1 / sqrt(1 + r^2);
                s = c*r;
            end
        end
    end

我已经完成了研究,我很确定这是实现这种分解的最直接的方法之一,特别是在MATLAB中.但是当我在矩阵A上测试它时,产生的R不应该是正确的三角形.Q是正交的,并且Q*R = A,因此算法正在做一些正确的事情,但它没有产生完全正确的分解.也许我一直在盯着这个问题太长时间,但任何关于我所忽视的东西的见解都会受到赞赏.

Answer 1

这似乎有更多的错误,我看到:

1. 你应该使用[c,s] = GivensRotation(R(i-1,j),R(i,j)); (注意,R而不是A)
2. 原始乘法Q = Q*G'; R = G*R是正确的.
3. r = a/b和r = b/a(没有减号,不确定它是否重要)
4. G([i-1,i],[i-1,i])= [c -s; SC];

这是一个示例代码,似乎工作.

第一个文件,

% qrgivens.m
function [Q,R] = qrgivens(A)
  [m,n] = size(A);
  Q = eye(m);
  R = A;

  for j = 1:n
    for i = m:-1:(j+1)
      G = eye(m);
      [c,s] = givensrotation( R(i-1,j),R(i,j) );
      G([i-1, i],[i-1, i]) = [c -s; s c];
      R = G'*R;
      Q = Q*G;
    end
  end

end

第二个

% givensrotation.m
function [c,s] = givensrotation(a,b)
  if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
  else
    if abs(b) > abs(a)
      r = a / b;
      s = 1 / sqrt(1 + r^2);
      c = s*r;
    else
      r = b / a;
      c = 1 / sqrt(1 + r^2);
      s = c*r;
    end
  end

end