Python:寻找非线性方程的多个根

Question

假设以下功能:

f(x) = x * cos(x-4)

有了x = [-2.5, 2.5]这个功能跨越0的f(0) = 0和f(-0.71238898) = 0.

这是通过以下代码确定的:

import math
from scipy.optimize import fsolve
def func(x):
    return x*math.cos(x-4)
x0 = fsolve(func, 0.0)
# returns [0.]
x0 = fsolve(func, -0.75)
# returns [-0.71238898]

使用fzero(或任何其他Python根查找程序)在一次调用中查找两个根的正确方法是什么？是否有不同的scipy功能呢？

fzero 参考

Answer 1

我曾为这项任务写过一个模块.它基于Jaan Kiusalaas的"使用Python工程中的数值方法 "一书中的第4.3章:

import math

def rootsearch(f,a,b,dx):
    x1 = a; f1 = f(a)
    x2 = a + dx; f2 = f(x2)
    while f1*f2 > 0.0:
        if x1 >= b:
            return None,None
        x1 = x2; f1 = f2
        x2 = x1 + dx; f2 = f(x2)
    return x1,x2

def bisect(f,x1,x2,switch=0,epsilon=1.0e-9):
    f1 = f(x1)
    if f1 == 0.0:
        return x1
    f2 = f(x2)
    if f2 == 0.0:
        return x2
    if f1*f2 > 0.0:
        print('Root is not bracketed')
        return None
    n = int(math.ceil(math.log(abs(x2 - x1)/epsilon)/math.log(2.0)))
    for i in range(n):
        x3 = 0.5*(x1 + x2); f3 = f(x3)
        if (switch == 1) and (abs(f3) >abs(f1)) and (abs(f3) > abs(f2)):
            return None
        if f3 == 0.0:
            return x3
        if f2*f3 < 0.0:
            x1 = x3
            f1 = f3
        else:
            x2 =x3
            f2 = f3
    return (x1 + x2)/2.0

def roots(f, a, b, eps=1e-6):
    print ('The roots on the interval [%f, %f] are:' % (a,b))
    while 1:
        x1,x2 = rootsearch(f,a,b,eps)
        if x1 != None:
            a = x2
            root = bisect(f,x1,x2,1)
            if root != None:
                pass
                print (round(root,-int(math.log(eps, 10))))
        else:
            print ('\nDone')
            break

f=lambda x:x*math.cos(x-4)
roots(f, -3, 3)

roots找到f区间[ a,b] 中的所有根.

Answer 2

定义你的函数,使它可以采用标量或numpy数组作为参数:

>>> import numpy as np
>>> f = lambda x : x * np.cos(x-4)

然后传递一个参数向量fsolve.

>>> x = np.array([0.0, -0.75])
>>> fsolve(f,x)
array([ 0.        , -0.71238898])

Answer 3

一般来说（即除非您的函数属于某个特定类）您无法找到所有全局解决方案 - 这些方法通常从给定的起点进行局部优化。

但是，您可以将 math.cos() 与 numpy.cos() 切换，这将对您的函数进行向量化，以便它可以一次求解多个值，例如 fsolve(func, np.arange(-10,10,0.5))。