什么是计算2模数的大功率的最快方法

Question

因为,我需要计算,而且它必须非常快! 我目前的做法是:1 <= N <= 10000000002N mod 1000000007

ull power_of_2_mod(ull n) {
    ull result = 1;
    if (n <= 63) {
        result <<= n;
        result = result % 1000000007;
    }
    else {
        ull one = 1;
        one <<= 63;
        while (n > 63) {
            result = ((result % 1000000007) * (one % 1000000007)) % 1000000007;
            n -= 63;
        }

        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            result = (result * 2) % 1000000007;
        }

    }

    return result;
}

但它似乎不够快.任何的想法？

Answer 1

通过平方和二元模幂运算方法检查取幂

Answer 2

这会更快(C中的代码):

typedef unsigned long long uint64;

uint64 PowMod(uint64 x, uint64 e, uint64 mod)
{
  uint64 res;

  if (e == 0)
  {
    res = 1;
  }
  else if (e == 1)
  {
    res = x;
  }
  else
  {
    res = PowMod(x, e / 2, mod);
    res = res * res % mod;
    if (e % 2)
      res = res * x % mod;
  }

  return res;
}

Answer 3

你可以在O(log n).

例如，对于 n = 1234 = 10011010010（以 2 为底），我们有 n = 2 + 16 + 64 + 128 + 1024，因此 2^n = 2^2 * 2^16 * 2^64 * 2^128 * 2 ^ 1024。

请注意，2^1024 = (2^512)^2，因此，如果您知道 2^512，则可以通过几次操作来计算 2^1024。

解决方案是这样的（伪代码）：

const ulong MODULO = 1000000007;

ulong mul(ulong a, ulong b) {
    return (a * b) % MODULO;
}

ulong add(ulong a, ulong b) {
    return (a + b) % MODULO;
}

int[] decompose(ulong number) {
    //for 1234 it should return [1, 4, 6, 7, 10]
}

//for x it returns 2^(2^x) mod MODULO
// (e.g. for x = 10 it returns 2^1024 mod MODULO)
ulong power_of_power_of_2_mod(int power) {
    ulong result = 1;
    for (int i = 0; i < power; i++) {
        result = mul(result, result);
    }
    return result;
}

//for x it returns 2^x mod MODULO
ulong power_of_2_mod(int power) {
    ulong result = 1;
    foreach (int metapower in decompose(power)) {
        result = mul(result, power_of_power_of_2_mod(metapower));
    }
    return result;
}

请注意，O(log n)实际上，O(1)对于ulong参数（如 log n < 63）；并且此代码与任何uintMODULO (MODULO < 2^32)兼容，与MODULO 是否为素数无关。

Answer 4

此方法不使用具有O(log(n))复杂度的递归.看一下这个.

#define ull unsigned long long
#define MODULO 1000000007

ull PowMod(ull n)
{
    ull ret = 1;
    ull a = 2;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) ret = ret * a % MODULO;
        a = a * a % MODULO;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

这是来自维基百科的伪(参见从右到左的二进制方法部分)

function modular_pow(base, exponent, modulus)
Assert :: (modulus - 1) * (base mod modulus) does not overflow base
result := 1
base := base mod modulus
while exponent > 0
    if (exponent mod 2 == 1):
       result := (result * base) mod modulus
    exponent := exponent >> 1
    base := (base * base) mod modulus
return result