垂直于给定点的线段

Question

我想计算给定线上与给定点垂直的点.

我有一个线段AB并且在线段之外有一个点C. 我想计算AB上的点D,使得CD垂直于AB.

我必须找到D点.

它与此非常相似,但我想考虑Z坐标,因为它在3D空间中没有正确显示.

Answer 1

证明:D点位于垂直于AB的CD线上,当然D属于AB.记下两个矢量CD.AB = 0的Dot积,并表示D属于AB的事实为D = A + t(BA).

我们最终得到3个方程式:

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)
(Dx-Cx)(Bx-Ax)+(Dy-Cy)(By-Ay)=0

在第三个方程中减去前两个方程给出:

(Ax+t(Bx-Ax)-Cx)(Bx-Ax)+(Ay+t(By-Ay)-Cy)(By-Ay)=0

分配解决t给出:

(Ax-Cx)(Bx-Ax)+t(Bx-Ax)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)+t(By-Ay)(By-Ay)=0

这使:

t= -[(Ax-Cx)(Bx-Ax)+(Ay-Cy)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

摆脱负面迹象:

t=[(Cx-Ax)(Bx-Ax)+(Cy-Ay)(By-Ay)]/[(Bx-Ax)^2+(By-Ay)^2]

一旦你有t,你可以从前两个方程中找出D的坐标.

 Dx=Ax+t(Bx-Ax)
 Dy=Ay+t(By-Ay)

Answer 2

function getSpPoint(A,B,C){
    var x1=A.x, y1=A.y, x2=B.x, y2=B.y, x3=C.x, y3=C.y;
    var px = x2-x1, py = y2-y1, dAB = px*px + py*py;
    var u = ((x3 - x1) * px + (y3 - y1) * py) / dAB;
    var x = x1 + u * px, y = y1 + u * py;
    return {x:x, y:y}; //this is D
}

Answer 3

使用矢量点积有一个简单的封闭形式解决方案（不需要循环或近似值）。

将您的点想象为向量，其中点 A 位于原点 (0,0) 并且所有其他点都从中引用（您可以通过从每个点中减去点 A 轻松地将您的点转换到此参考系）。

在这个参考系中，点 D 只是点 C 在矢量 B 上的矢量投影，表示为：

// Per wikipedia this is more efficient than the standard (A . Bhat) * Bhat
Vector projection = Vector.DotProduct(A, B) / Vector.DotProduct(B, B) * B

可以通过添加点 A 将结果向量转换回原始坐标系。

Answer 4

直线 AB 上的点可以通过以下方式参数化：

M(x)=A+x*(BA)，对于 x 实数。

您希望 D=M(x) 使得 DC 和 AB 正交：

点(BA,CM(x))=0。

即： dot(BA,CAx*(BA))=0，或 dot(BA,CA)=x*dot(BA,BA)，给出：

x=dot(BA,CA)/dot(BA,BA) 除非 A=B，否则定义。