费雪耶茨变异

Question

经典的Fisher Yates看起来像这样:

void shuffle1(std::vector<int>& vec)
{
    int n = vec.size();
    for (int i = n - 1; i > 0; --i)
    {
        std::swap(vec[i], vec[rand() % (i + 1)]);
    }
}

昨天,我错误地"向后"实现了迭代:

void shuffle2(std::vector<int>& vec)
{
    int n = vec.size();
    for (int i = 1; i < n; ++i)
    {
        std::swap(vec[i], vec[rand() % (i + 1)]);
    }
}

这个版本是否比第一个版本更糟(或更好)？它是否会扭曲由此产生的概率？

Answer 1

是的，假设是均匀分布rand()。我们将通过证明每个输入可以以相等的概率生成每个排列来证明这一点。

N=2很容易证明。我们将其绘制为一棵树，其中子级代表通过将逗号后的字符插入最左边的字符串可以获得的每个字符串。

  0,1   //input where 0,1 represent indices
01  10  //output. Represents permutations of 01. It is clear that each one has equal probability

对于 N，我们将拥有 N-1 的所有排列，并随机交换 N 的最后一个字符

    (N-1 0th permutation),N     .....          (N-1 Ith permutation),N ________________________  
      /              \                       /                   \                             \ 
0th permutation of N  1st permutation....   (I*N)th permutation   ((I*N)+1)th permutation .... (I*N)+(I-1)th permutation

这种糟糕的归纳应该会让你得到均匀的分布。

例子：

N=2：

  0,1
01  10 // these are the permutations. Each one has equal probability

N=3：

           0,1|2           // the | is used to separate characters that we will insert later
    01,2           10,2    // 01, 10 are permutations from N-1, 2 is the new value
 210 021 012   201 120 102 // these are the permutations, still equal probability

N=4：（弯曲以帮助阅读）

                                                           0,1|23

                                                       01,2|3  10,2|3

                                           012,3 021,3 210,3    102,3 120,3 201,3

0123 0132 0321 3230                                                                                  2013 2031 2310 3012
                    0213 0231 0312 3210                                          1203 1230 1302 3201
                                        2103 2130 2301 3102  1023 1032 1320 3021

ETC