为什么 Haskell 的 `Functor` 实例不定义一个“类似返回”的函数？

Question

在范畴论中，函子是范畴之间的态射，即将范畴中的每个对象映射A到 中的另一个对象B，并将每个态射映射C -> D到 中的各个对象B，同时保留态射的组合。因此，我们可以说函子由两个“部分”组成，一个将对象映射到对象，另一个将态射映射到态射。在Haskell中，如果我理解正确的话，Functor类型类中的每个类型都可以“映射到”，即类型的函数a -> b可以映射到函数上F a -> F b。现在为什么不存在return :: Functor f => a -> f a专门用于 的函数Functor？是否没有必要，因为我们可以简单地利用实例return中的定义Monad，因为 return 实际上只对 Monad 的函子部分起作用，还是还有其他原因？

这让我觉得很奇怪，因为如果真是这样，为什么不return包含在Functor实例中？我的意思是每个单子都有一个函子部分，所以对我来说，这是有道理的。有人能在这方面启发我吗？

Answer 1

这是一种常见的误解，也曾经让我犯过错误。你是对的，函子有两部分：一部分将对象映射到对象，另一部分将函数映射到函数（更一般地说，箭头到箭头，但这在这里并不真正相关）。现在，当我有

instance Functor F where
    fmap f x = ...

您已经正确地猜测将fmap函数转化为函数。然而，我们已经有了一种将对象带到对象的方法。明确地说，我们的对象不是值，而是类型。因此，“对象到对象”部分应该将一种类型映射到另一种类型。那东西叫做F。我们函子的名字字面意思是从对象到对象的映射。给定一个 type a，该类型F a是我们的函子提升的其他类型。

现在这就提出了一个公平的问题：什么是 return？它需要一个a并产生一个F a（对于 monad F）。更具体地说，给定一个固定的 monad F，签名是

return :: forall a. a -> F a

现在请仔细阅读。这就是说“给定任何类型 a，我可以想出一个从a到 的函数F a”。也就是说，它获取我们类别中的一个对象（类型）并将其映射到我们类别中的箭头（函数）。从对象到箭头的映射称为自然变换，这正是自然变换return。

明确地说，单子是一个函子（底层类型F与 一起fmap），以及两个自然转换：

• return，这是一个自然变换1 -> F（其中1是恒等函子），并且
• join，这是一个自然变换F^2 -> F（其中F^2与F自身组成）

也就是说，对于任何 type a，returnhas typea -> F a且joinhas type F (F a) -> F a^[1]。

return带有和 的类型类会是什么样子fmap？我不知道。我不知道有哪个 Haskell 库实现了该类型类，而且我也不完全确定这些规则会是什么样子。一个很好的猜测可能是fmap f . return === return . f，但我们实际上将其视为一个自由定理，所以这不是我们的定律。如果您或其他人在 Hackage 生态系统中的某个地方知道此类型类，请随时告诉我。

^[1] Haskell 在绑定运算符方面使用“monad”的等效定义，(>>=)而不是join。它们在数学上是等价的，我在这里选择了更简单的定义。