两个浮点数相除-1.0是否意味着它们相等但符号相反？

Question

由于精度，0.1 + 0.2不等于0.3大多数编程语言。然而，

var float a, float b
assert(a != 0 && b != 0)
if a / b == -1.0 {
    // a, b are opposite numbers:
    //  abs(a) == abs(b) && (a > 0 && b < 0 || a < 0 && b > 0)
    ...
}

如果非零并且是相反的数（它们的绝对值相同，但一个是正数，另一个是负数），它总是正确的吗？ab

或者我必须引入一个非常小的数字epsilon（例如1e-7）来消除错误：

if a / b >= -1.0 - epsilon && a / b <= -1.0 + epsilon

Answer 1

a/b首先， = \xe2\x88\x921 \xe2\x87\x94 a= \xe2\x88\x92是不正确的b。正如问题中的示例代码所示，这不适用于a= 0, b= 0，因为a/b会产生 NaN。另一种情况是a= \xc2\xb1\xe2\x88\x9e, b= \xe2\x88\x93\xe2\x88\x9e，a/b也产生 NaN。

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另一种情况发生在使用大于二的基数的格式中。考虑两位十进制格式。对于a= \xe2\x88\x921.0\xe2\x80\xa210 ²和b= +9.9\xe2\x80\xa210 ¹，a/b是 \xe2\x88\x921.0101010\xe2\x80\xa6，并将其四舍五入 (四舍五入到两位数会产生 \xe2\x88\x921.0，a/b\xe2\x88\x921 也是如此。

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在向上舍入或向零舍入的二进位格式中，取a= \xe2\x88\x921 和b= 大于 \xe2\x88\x921 的下一个可表示值，将为 生成 \xe2\x88\x921 a/b，如下所述。

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排除这些情况（NaN 商、大于二的基数、在 \xe2\x88\x921 处向上舍入），确实 = \xe2 a/b\x88\x921 \xe2\x87\x94 a= \xe2\x88\x92 b。下面是一个证明。

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考虑任何将有限数表示为 \xc2\xb1 d ₀的浮点格式。d _{\xe2\x88\x921} d _{\xe2\x88\x922} \xe2\x80\xa6 d _{1- p} \xe2\x80\xa2 b ^e，其中b是固定底数，e是设定范围内的指数，p是精度（位数），数字d _i是整数，且 0 \xe2\x89\xa4 d _i < b。

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对于不同大小的a和b，最接近的a/ b（注意是浮点运算a/b的计算结果，而/是除以 的实数商，没有浮点舍入）可以是 \xe2\x88\ x921 是如果和的大小是格式中的相邻数字，特别是如果， for , d i ₌ b \ xe2\x88\x921, so = \xc2\xb1( b ^{e +1} \xe2\x88\x92 be ^{e + 1- p} )，并且= \xe2\x88\x93 b ^{e +1}。然后/ = \xe2\x88\x921+ b ^{- p} )。在/ = \xe2\x88\x921+ b ^{- p}中，确切的结果 \xe2\x88\x921+ b ^{- p}是远离 \xe2\的完整 ULP（e = \xe2\x88\x921 指数区间） x88\x921，因此 的浮点结果将是 \xe2\x88\x921+ b ^{- p}。a/babababaabababa/b

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然而，我们还必须考虑一种情况，其中a是 \xc2\xb1b ^e并且b是下一个较低值，但被取反， \xe2\x88\x93( b ^e \xe2\x88\x92 b ^{e - p} )。那么a/b就是 \xe2\x88\x92b ^e / ( b ^e \xe2\x88\x92 b ^{e - p} ) = \xe2\x88\x921 / (1\xe2\x88\x92 b ^{\xe2\x88\x92 p} ) 。这不是最接近 \xe2\x88\x921 而不是 \xe2\x88\x921 的商，但它使商的大小略大于 1，将其置于 ULP 较大的指数区间中。尽管e = \xe2\x88\x921 区间的 ULP 与 \xe2\x88\x921 相差超过 1 个 ULP ，但e = 0 区间中的 ULP却大b倍。来自 \xe2\x88\x921 的商略大于 1/ b ULP。如果b为 2，则商大于 \xe2\x88\x921 的 \xc2\xbd ULP，因此，通过舍入到最接近的值，它将舍入到下一个可表示的值。如果b是任何更大的整数，则商小于 \xe2\x88\x921 的 \xc2\xbd ULP，因此它将四舍五入到 \xe2\x88\x921。因此，a/b= \xe2\x88\x921 \xe2\x87\x94 a= \xe2\x88\x92b在非基数 2 格式中不成立，即使排除 NaN 商情况也是如此。它也不适用于某些非默认舍入模式（例如向零舍入）的二进位格式。

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使用以 2 为基数的格式并朝最接近的方向舍入时，a/b= \xe2\x88\x921 意味着a= - b。只要a/b不为 NaN，则相反的情况成立。

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