R：计算 log(exp(...)) 的最大浮点误差

Question

我正在研究一些编程问题，我必须在标准空间和对数空间之间转换概率。为此，我试图找出输入为对数概率（即非正数）的计算中浮点误差的最大绝对误差。Rlog(exp(...))

目前，我已经通过使用网格搜索计算了答案（请参阅下面的代码和绘图），但我不确定我计算的值是否正确。（我检查了一些其他范围，但图中显示的范围似乎获得了最大绝对误差。）

#Set function for computing floating-point error of log(exp(...))
fp.error <- function(x) { abs(log(exp(x)) - x) }

#Compute and plot floating-point error over a grid of non-negative values
xx <- -(0:20000/10000)
ff <- fp.error(xx)
plot(xx, ff, col = '#0000FF10',
     main = 'Error in computation of log(exp(...))', 
     xlab = 'x', ylab = 'Floating-Point Error')

#Compute maximum floating-point error
fp.error.max <- max(ff)
fp.error.max
[1] 1.110223e-16

.Machine$double.eps根据此分析，我估计的最大绝对误差是(即)的一半2.220446e-16。我不确定这是否有理论上的原因，或者我是否得到了错误的答案。

问题：有什么方法可以确定这是否真的是该计算的最大浮点误差？是否有任何理论方法来计算最大值，或者这种网格搜索方法是否足够？

Answer 1

我想你得到了正确的答案。这里我将步骤细化为sqrt(.Machine$double.eps)，你会看到

> x <- seq(0, 2, by = sqrt(.Machine$double.eps))

> max(abs(log(exp(x)) - x))
[1] 1.110725e-16

然而，一旦你的x非常大，你就会Inf出错，例如，

> (x <- .Machine$double.xmax)
[1] 1.797693e+308

> max(abs(log(exp(x)) - x))
[1] Inf