求解广义特征向量和特征值以获得共同的基础

Question

我正在寻找在 Matlab 中解决广义特征向量和特征值问题。为此，我测试了2种方法。

1. 如果广义问题表述为：

然后，我们可以在每一边乘以 B^(-1)，例如：

所以，从理论角度来看，这是一个简单而经典的特征值问题。

最后，在 Matlab 中，我简单地使用A=FISH_sp和进行了操作B=FISH_xc：

[Phi, Lambda] = eig(inv(FISH_xc)*FISH_sp);

但是，当我在简单的费舍尔综合之后得到的结果不正确（约束太糟糕，而且还出现了nan值。我不知道为什么我没有得到与下面第二个相同的结果。

2. 第二种方法来自以下论文。

总而言之，所使用的算法在第 7 页进行了描述。我已经遵循了该算法的所有步骤，当我进行 Fisher 综合时，它似乎给出了更好的结果。

这里是感兴趣的部分（抱歉，我认为 Stakoverflow 上没有 Latex）：

这是我的这个方法的小 Matlab 脚本：

% Diagonalize A = FISH_sp and B = Fish_xc
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Applying each  step of algorithm 1 on page 7
phiB_bar = V2*(D2.^(0.5)+1e-10*eye(7))^(-1);
barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar;
[phiA, vA] = eig(barA);
Phi = phiB_bar*phiA;

所以最后，我找到了 phi 特征向量矩阵 (phi) 和 lambda 对角矩阵 (D1)。

3. 现在，我想将这个广义问题与 A 和 B 矩阵（分别为 Fish_sp 和 Fish_xc）之间的最终公共特征向量联系起来。有办法执行此操作吗？

事实上，我到目前为止所做的就是找到A*Phi和之间的平行关系B*Phi，通过 Lambda 对角矩阵 联系起来。也许，我们可以这样安排这种关系：

A*Phi'=Phi'*Lambda_A'

和

B*Phi'=Phi'*Lambda_B'

4. 从数值角度来看，为什么 1) 中的方法和 3) 中的方法没有得到相同的结果？我的意思是Phi特征向量矩阵和Lambda对角矩阵。

然而，这是相同的表述。

编辑 ：

如果我想说phi 对角化 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 矩阵，我会得到错误的结果。

事实上，通过这样做：

% Marginalizing over uncommon parameters between the two matrices
COV_GCsp_first = inv(FISH_GCsp);
COV_XC_first = inv(FISH_XC);
COV_GCsp = COV_GCsp_first(1:N,1:N);
COV_XC = COV_XC_first(1:N,1:N);
% Invert to get Fisher matrix
FISH_sp = inv(COV_GCsp);
FISH_xc = inv(COV_XC);
% Diagonalize
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Build phi matrix
% V2 corresponds to eigen vectors of FISH_xc
phiB_bar = V2*diag(diag(D2.^(-0.5)));
% DEBUG : check identity matrix => OK, Identity matrix found !
id = (phiB_bar')*FISH_xc*phiB_bar
% phi matrix
barA = (phiB_bar')*FISH_sp*phiB_bar
[phiA, vA] = eig(barA);
phi = phiB_bar*phiA;

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_xc*V2./V2

% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_sp*phi./phi
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_xc*phi./phi

因此，我没有发现特征向量矩阵Phi对角化 A 和 B，因为预期的特征值不是具有相同值的列。

顺便说一句，我找到了特征值D1并且D2来自：

[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D1 found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D2 found !
FISH_xc*V2./V2

我怎样才能解决这个错误的结果（我说的是比率：

FISH_sp*phi./phi
FISH_xc*phi./phi

FISH_sp对于和) )的给定列，它们不会给出相同的值FISH_xc？在论文中，他们说对phi角化A=FISH_sp，B=FISH_xc但我无法重现它。

如果有人能看到我的错误在哪里......

Answer 1

你定义的barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar. 从方程。(39) 在手稿中看起来应该是这样barA = transpose(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar。

另外，当B奇异时，你的方法 1 会失败（逆矩阵不存在）。不过，如果我没记错的话，MATLABeig(A,B)也应该可以处理单数。B