将平面上的 3D 坐标转置为新的 2D 坐标系

Question

我一直在从事一个个人项目，以生成方程 x^2 + y^2 + z^2 = S 的整数解的图像，其中“S”是任何整数。

换句话说，我正在寻找所有 3D 点 [x,y,z]，其中 x、y 和 z 都是完全平方整数，并且 x + y + z = S

例如，S = 2809 将有解：

• [144、1296、1369]、
• [144, 729, 1936],
• [0, 0, 2809]
• ...加上上述的所有排列（即 144+729+1936 = 1936+729+144）

在回答我的问题之前，先先介绍一下背景：

一般方程 x + y + z = S 的所有解都位于由以下定义的 2D 平面上：

• A = [S, 0, 0]
• B = [0, S, 0]
• C = [0, 0, S]

这是 x + y + z = 50 的所有解（不仅仅是平方点）的图表，以说明该方程的所有解都将位于由上面定义的 ABC 界定的同一平面上。请注意，下面三角形的尖端是：[50, 0, 0]、[0, 50, 0] 和 [0, 0, 50]

回到我的问题：找到平方解点后，我想将 3D 解点转置为基于 ABC 平面的 2D 坐标，其中 A 为 (0,0)，B 是最大“x”值，C 是最大“y”值。然后我希望将这些解决方案输出到图像文件。

我的线性代数知识很少，而且我一直无法找到一种基于3个非共线点将3D坐标转置为2D平面坐标的方法。

我的代码目前是用 python 编写的，但算法/数学答案也同样好！

任何帮助深表感谢！

Answer 1

在我看来，你已经可以找到你的(x, y, z)观点，而你的问题是关于如何将它们投影到平面上。

请参阅投影矩阵以了解如何将 3D 世界投影到您选择的图像平面上。

具体来说，您必须将(x, y, z)坐标表示为齐次坐标，将它们称为(x, y, z, 1)，并将它们乘以与您需要在其上投射它们的平面正交的相关相机矩阵。

这将产生形式的二维齐次坐标(x', y', f)，您可以从中获得投影坐标(x_projected, y_projected) = (x'/f, y'/f)。

OpenCV是你的朋友。

回顾：

1. 输入：n (x, y, z)点
2. M使用 opencv 获取大小的投影（相机）矩阵(4, 3)或使用任何工具自行计算。
3. 将最后一个维度添加1到所有点以获得 3d 齐次坐标：n点(x, y, z, 1)
4. 将所有点乘以矩阵以获得二维齐次坐标的投影点：M * (x, y, z, 1)^T=(x', y', f)
5. 通过=获取n实际的 2d 投影坐标（相对于M矩阵定义的相机中心）(x, y)(x'/f, y'/f)

额外奖励：您可以将所有(x, y, z, 1)点作为列堆叠到(4, n)矩阵中P，整个乘法过程将是，形状的R = M * P结果矩阵，其列是生成的齐次坐标。R(3, n)