准确的 sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2

Question

我需要sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2数值计算，对于 positive x。对于非常大的 值，使用此表达式直接失败x。我怎样才能重写它以获得更准确的评估？

Answer 1

对于非常大的，x您可以分解出一个x/2：

sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( 1/(x/2)^2 + (x/2)^2/(x/2)^2) + x/2
 = (x/2) * sqrt( (2/x)^2 + 1 ) + x/2

因为x > 2/sqrt(eps)平方根实际上将计算为 1，并且您的整个表达式将简化为x。假设你需要覆盖整个 range [0, infinity]，我建议在那个时候分支并x在这种情况下返回你的原始公式，否则：

if x > 2/sqrt(eps)  // eps is the machine epsilon of your float type
    return x
else
    return sqrt(1 + (x/2)^2) + x/2