编程中有没有通用的函子（不限于自函子）用法？

Question

编程中有没有通用的函子（不限于自函子）用法？

我理解使用内函子的原因是使结构变得简单，如 monoid 或 monad。

我也最终明白，所有的值都归结为一种编程语言的类别（例如 Hask），但我在这里谈论的是同一类别的字符串、数字、布尔值或函数之间的内函子。

相关问题：

所有的 Haskell 函子都是内函子吗？

函子和自函子的区别

Answer 1

首先，是的。

例如，我们都知道幺半群可以定义为具有

• 箭头是元素
• 单个对象没有意义
• 组合为运算符（(<>)在 Haskell 中）
• id 箭头作为身份（mempty在 Haskell 中）。

在这个意义上，两个幺半群之间的同态成为两个范畴之间的函子。

现在，比如说， typeA和B都是幺半群；它们之间的函子只是一个同态函数f :: A -> B，将每个映射A到B，保留组合。

但是，等等，f :: A -> B甚至不是Functor（请注意，我在这里使用等宽字体）！

不，它不是FunctorHaskell 中的 a，但它仍然是数学意义上的函子。

所以，为了强调，我再次声明：在编程中使用“非内”函子，并且可能比内函子更频繁。

这里的重点是范畴论是一种高度抽象的理论——它提供了抽象具体对象的概念。我们可以将这些概念定义为在不同的上下文中表示不同的事物。

和Hask（或设置，或子类别设置）只是一个这些无穷的定义，这使得

• 箭头是函数
• 对象是类型（或集合）
• 组合成为功能组合 (.)
• id 箭头作为id函数。

将这个“分类宇宙”定义与上面的“分类幺半群”定义进行比较 - 恭喜，您现在已经知道了两种不同的分类方式！

总而言之，请记住，范畴论本身只是一些抽象。抽象本身没有意义，也没有任何用处。我们将它们与真实的事物联系起来，只有这样它们才能给我们带来便利。通过具体的例子理解抽象概念，但永远不要将这些概念本身简化为任何具体的东西（例如，永远不要将函子简化为某个“分类世界”（例如Hask、Set等）中的函子！）。

PS如果你问“ Haskell中是否有一个函子将Hask发送到另一个类别？” 那么答案可以是yes 或 no。例如，可以定义一个类别Hask * Hask包含任何两种类型的笛卡尔积，和一个算符data Diag a = Diag a a，fmap f x = Diag (f x) (f x)发送每种类型A以它的平方A * A。然而，Hask * Hask仍然是一个子类别Hask，所以我们可以说这是一个endofunctor了。