scipy.stats中cdf的精度

Question

我正在使用chi2分布作为模拟系统的理论问题.

对于给定的间隔,我需要将此分布估计为PMF,定义为该区间内PDF的积分.此值应接近间隔中心的PDF值,但可能略有不同,具体取决于PDF的形状.

这是我做的:

import numpy
from scipy.stats import chi2

dist = chi2(10)
nbins = 120

F = dist.cdf(numpy.arange(nbins+1))
pmf = F[1:] - F[:-1] # surface inside the interval
pmf /= pmf.sum() # Normalisation

问题是,chi2.cdf(100, 10)上面给出了正好1.0.所以我能得到的最小值大约是1.11e-16.但chi2.pdf(100, 10)不完全是0(约为2.5e-17).

我的问题是:如何更精确地获得我的pmf估计值(可能高达1e-25)？为什么cdf函数不如pdf函数精确？

Answer 1

cdf在浮点精度内等于1,但是sf接近于零,因此微小差异1e-20不会被大1覆盖.(参见JABS参考)

>>> probs_from_cdf = np.diff(stats.chi2.cdf(np.arange(nbins+1), 10))
>>> probs_from_sf = np.diff(stats.chi2.sf(np.arange(nbins+1)[::-1], 10))[::-1]
>>> probs_from_sf[:4]
array([ 0.00017212,  0.00348773,  0.01491609,  0.03407708])
>>> probs_from_cdf[:4]
array([ 0.00017212,  0.00348773,  0.01491609,  0.03407708])
>>> probs_from_cdf[-5:]
array([ 0.,  0.,  0.,  0.,  0.])
>>> probs_from_sf[-5:]
array([  1.94252577e-20,   1.21955220e-20,   7.65430774e-21,
         4.80270079e-21,   3.01259913e-21])

我不知道sf的准确范围有多远,即scipy.special.chdtrc(df,x),

Answer 2

通常每当我遇到精度问题时,我所能达到的第一个工具就是mpmath.它只有90%的工作时间(tm),足够快.在这种情况下,我们可以写:

import mpmath
mpmath.mp.dps = 50 # decimal digits of precision

def pdf(x,k):
    x,k = mpmath.mpf(x), mpmath.mpf(k)
    if x < 0: return 0
    return 1/(2**(k/2) * mpmath.gamma(k/2)) * (x**(k/2-1)) * mpmath.exp(-x/2)

def cdf(x,k): 
    x,k = mpmath.mpf(x), mpmath.mpf(k) 
    return mpmath.gammainc(k/2, 0, x/2, regularized=True)

def cdf_via_quad(s,k):
    return mpmath.quad(lambda x: pdf(x,k), [0, s])

给(使用你的F):

>>> pdf(2,10)
mpf('0.0076641550244050483665734118783637680717877318964951605')
>>> cdf(2,10)
mpf('0.003659846827343712345456455812710150667594853455628779')
>>> cdf_via_quad(2,10)
mpf('0.003659846827343712345456455812710150667594853455628779')
>>> F[2]
0.0036598468273437131
>>> pdf(100,10)
mpf('2.5113930312030179466371651256862142900427508479560716e-17')
>>> cdf(100,10)
mpf('0.99999999999999994550298017079470664906667698474760744')
>>> cdf_via_quad(100,10)
mpf('0.99999999999999994550298017079470664906667698474760744')
>>> F[100]
1.0

应该直接使用quad来获得所需的任何规范化.