来自C++中的多元正态/高斯分布的样本

Question

我一直在寻找一种方便的方法来从多元正态分布中进行采样.有没有人知道有一个现成的代码片段可以做到这一点？对于矩阵/向量,我更喜欢使用Boost或Eigen或我不熟悉的另一个现象库,但我可以使用GSL.如果方法接受非负 -无限协方差矩阵而不是要求正定(例如,与Cholesky分解一样),我也会喜欢它.这存在于MATLAB,NumPy等中,但我很难找到现成的C/C++解决方案.

如果我必须自己实施,我会发牢骚但这没关系.如果我这样做,维基百科听起来就像我应该的那样

1. 生成n 0均值,单位方差,独立正态样本(boost会这样做)
2. 找到协方差矩阵的特征分解
3. 通过相应特征值的平方根来缩放n个样本中的每一个
4. 通过将经缩放的矢量乘以由分解找到的标准正交特征向量的矩阵来旋转样本矢量

我希望这能很快发挥作用.有人有直觉知道何时值得检查协方差矩阵是否为正,如果是,请使用Cholesky代替？

Answer 1

由于这个问题已经获得了很多观点,我想我会发布最终答案的代码,部分是通过发布到Eigen论坛.该代码使用Boost作为单变量法线和Eigen进行矩阵处理.它感觉相当不正统,因为它涉及使用"内部"命名空间,但它的工作原理.如果有人提出建议,我愿意改进它.

#include <Eigen/Dense>
#include <boost/random/mersenne_twister.hpp>
#include <boost/random/normal_distribution.hpp>    

/*
  We need a functor that can pretend it's const,
  but to be a good random number generator 
  it needs mutable state.
*/
namespace Eigen {
namespace internal {
template<typename Scalar> 
struct scalar_normal_dist_op 
{
  static boost::mt19937 rng;    // The uniform pseudo-random algorithm
  mutable boost::normal_distribution<Scalar> norm;  // The gaussian combinator

  EIGEN_EMPTY_STRUCT_CTOR(scalar_normal_dist_op)

  template<typename Index>
  inline const Scalar operator() (Index, Index = 0) const { return norm(rng); }
};

template<typename Scalar> boost::mt19937 scalar_normal_dist_op<Scalar>::rng;

template<typename Scalar>
struct functor_traits<scalar_normal_dist_op<Scalar> >
{ enum { Cost = 50 * NumTraits<Scalar>::MulCost, PacketAccess = false, IsRepeatable = false }; };
} // end namespace internal
} // end namespace Eigen

/*
  Draw nn samples from a size-dimensional normal distribution
  with a specified mean and covariance
*/
void main() 
{
  int size = 2; // Dimensionality (rows)
  int nn=5;     // How many samples (columns) to draw
  Eigen::internal::scalar_normal_dist_op<double> randN; // Gaussian functor
  Eigen::internal::scalar_normal_dist_op<double>::rng.seed(1); // Seed the rng

  // Define mean and covariance of the distribution
  Eigen::VectorXd mean(size);       
  Eigen::MatrixXd covar(size,size);

  mean  <<  0,  0;
  covar <<  1, .5,
           .5,  1;

  Eigen::MatrixXd normTransform(size,size);

  Eigen::LLT<Eigen::MatrixXd> cholSolver(covar);

  // We can only use the cholesky decomposition if 
  // the covariance matrix is symmetric, pos-definite.
  // But a covariance matrix might be pos-semi-definite.
  // In that case, we'll go to an EigenSolver
  if (cholSolver.info()==Eigen::Success) {
    // Use cholesky solver
    normTransform = cholSolver.matrixL();
  } else {
    // Use eigen solver
    Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd> eigenSolver(covar);
    normTransform = eigenSolver.eigenvectors() 
                   * eigenSolver.eigenvalues().cwiseSqrt().asDiagonal();
  }

  Eigen::MatrixXd samples = (normTransform 
                           * Eigen::MatrixXd::NullaryExpr(size,nn,randN)).colwise() 
                           + mean;

  std::cout << "Mean\n" << mean << std::endl;
  std::cout << "Covar\n" << covar << std::endl;
  std::cout << "Samples\n" << samples << std::endl;
}

Answer 2

这是一个在Eigen中生成多元正态随机变量的类,它使用C++ 11随机数生成并Eigen::internal通过使用Eigen::MatrixBase::unaryExpr()以下方法避免使用:

struct normal_random_variable
{
    normal_random_variable(Eigen::MatrixXd const& covar)
        : normal_random_variable(Eigen::VectorXd::Zero(covar.rows()), covar)
    {}

    normal_random_variable(Eigen::VectorXd const& mean, Eigen::MatrixXd const& covar)
        : mean(mean)
    {
        Eigen::SelfAdjointEigenSolver<Eigen::MatrixXd> eigenSolver(covar);
        transform = eigenSolver.eigenvectors() * eigenSolver.eigenvalues().cwiseSqrt().asDiagonal();
    }

    Eigen::VectorXd mean;
    Eigen::MatrixXd transform;

    Eigen::VectorXd operator()() const
    {
        static std::mt19937 gen{ std::random_device{}() };
        static std::normal_distribution<> dist;

        return mean + transform * Eigen::VectorXd{ mean.size() }.unaryExpr([&](auto x) { return dist(gen); });
    }
};

它可以用作

int size = 2;
Eigen::MatrixXd covar(size,size);
covar << 1, .5,
        .5, 1;

normal_random_variable sample { covar };

std::cout << sample() << std::endl;
std::cout << sample() << std::endl;