按相似关系过滤图像列表

Question

我有一个图像名称列表和一个（阈值）相似度矩阵。相似关系是自反的和对称的，但不一定是传递的，即如果image_i与image_j和相似image_k，那么它不一定意味着image_j和image_k是相似的。

例如：

images = ['image_0', 'image_1', 'image_2', 'image_3', 'image_4']

sm = np.array([[1, 1, 1, 0, 1],
               [1, 1, 0, 0, 1],
               [1, 0, 1, 0, 0],
               [0, 0, 0, 1, 0],
               [1, 1, 0, 0, 1]])

相似度矩阵sm解释如下：如果sm[i, j] == 1然后image_i和image_j相似，否则它们不相似。在这里我们看到image_0与image_1and相似image_2，但image_1和image_2不相似（这只是非传递性的一个例子）。

我想保留最大数量的唯一图像（根据给定的sm矩阵，它们都是成对非相似的）。对于这个例子，它是[image_2, image_3, image_4]或[image_1, image_2, image_3]（通常有多个这样的子集，但我不介意保留哪个，只要它们是最大长度）。我正在寻找一种有效的方法来做到这一点，因为我有成千上万的图像。

编辑：我原来的解决方案如下

np.array(images)[np.tril(sm).sum(0) == 1]

但是不能保证它会返回一个最大长度的子集。考虑以下示例：

sm = np.array([[1, 1, 0, 0, 0],
               [1, 1, 0, 0, 0],
               [0, 0, 1, 1, 0],
               [0, 0, 1, 1, 1],
               [0, 0, 0, 1, 1]])

此解决方案将返回['image_1', 'image_4']，而所需的结果是['image_0', 'image_2', 'image_4']或['image_1', 'image_2', 'image_4']。

更新：请参阅我的回答，它使用图论更详细地解释了问题。我仍然愿意接受建议，因为我还没有找到一种相当快速的方法来实现数千张图像列表的结果。

Answer 1

稍微研究了一下，发现这就是图论中所谓的最大独立集问题，可惜是NP-hard问题。

图 G的独立集合S 是 G 的顶点的子集，因此 S 中没有顶点彼此相邻。在我们的例子中，我们正在寻找一个最大独立集（MIS），即具有最大可能顶点数的独立集。

有几个用于处理图形和网络的库，例如igraph或NetworkX，它们具有查找最大独立集的功能。我最终使用了 igraph。

对于我的问题，我们可以将图像视为图 G 的顶点，将“相似矩阵”视为邻接矩阵：

images = ['image_0', 'image_1', 'image_2', 'image_3', 'image_4']

sm = np.array([[1, 1, 1, 0, 1],
               [1, 1, 0, 0, 1],
               [1, 0, 1, 0, 0],
               [0, 0, 0, 1, 0],
               [1, 1, 0, 0, 1]])

# Adjacency matrix
adj = sm.copy()
np.fill_diagonal(adj, 0)

# Create the graph
import igraph
g = igraph.Graph.Adjacency(adj.tolist(), mode='UNDIRECTED')

# Find the maximum independent sets
g.largest_independent_vertex_sets()
[(1, 2, 3), (2, 3, 4)]

不幸的是，这对于数千个图像（顶点）来说太慢了。所以我仍然愿意接受关于更快的方法的建议（也许不是找到所有的 MIS，而是找到一个）。

注意：@Sergey (UPDATE#1) 和 @marke 提出的解决方案并不总是返回 MIS——它们是贪婪的近似算法，它们删除最大度数的顶点，直到没有边缘为止。为了证明这一点，请考虑以下示例：

sm = np.array([[1, 1, 0, 0, 0, 1],
               [1, 1, 0, 1, 0, 0],
               [0, 0, 1, 1, 1, 0],
               [0, 1, 1, 1, 0, 0],
               [0, 0, 1, 0, 1, 1],
               [1, 0, 0, 0, 1, 1]])

两个解决方案都返回[3, 5]，但对于这个例子，最大的独立集是两个，[(0, 3, 4), (1, 2, 5)]，正如由 正确找到的那样igraph。要了解为什么这些解决方案无法找到 MIS，下面是一个 gif，显示了如何在每次迭代中删除顶点和边（这是np.argmax多次出现最大值时返回第一次出现的“副作用” ）：

Sergey 的解决方案 (UPDATE#2) 似乎有效，但它比 igraph 的largest_independent_vertex_sets(). 对于速度比较，您可以使用以下随机生成的长度为 100 的相似度矩阵：

a = np.random.randint(2, size=(100, 100))

# create a symmetric similarity matrix
sm = np.tril(a) + np.tril(a, -1).T  
np.fill_diagonal(sm, 1)  

# create adjacency matrix for igraph
adj = sm.copy()
np.fill_diagonal(adj, 0)

更新：事实证明，虽然我有数千个图像 - 顶点，但边的数量相对较少（即我有一个稀疏图），因此就速度而言，使用 igraph 查找 MIS 是可以接受的。或者，作为一种折衷方案，可以使用贪心近似算法来寻找一个大的独立集（如果足够幸运的话，也可以使用 MIS）。下面是一个看起来相当快的算法：

def independent_set(adj):
    ''' 
    Given adjacency matrix, returns an independent set
    of size >= np.sum(1/(1 + adj.sum(0)))
    '''
    adj = np.array(adj, dtype=bool).astype(np.uint8)
    np.fill_diagonal(adj, 1)  # for the purposes of algorithm

    indep_set = set(range(len(adj)))
    # Loop until no edges remain
    while adj.sum(0).max() > 1: 
        degrees = adj.sum(0)
        # Randomly pick a vertex v of max degree
        v = random.choice(np.where(degrees == degrees.max())[0])
        # "Remove" the vertex v and the edges to its neigbours
        adj[v, :], adj[:, v] = 0, 0      
        # Update the maximal independent set
        indep_set.difference_update({v})
    return indep_set

或者更好的是，我们可以得到一个最大的独立集：

def maximal_independent_set(adj):  
    adj = np.array(adj, dtype=bool).astype(np.uint8)
    degrees = adj.sum(0)
    V = set(range(len(adj)))  # vertices of the graph
    mis = set()  # maximal independent set
    while V:
        # Randomly pick a vertex of min degree
        v = random.choice(np.where(degrees == degrees.min())[0])
        # Add it to the mis and remove it and its neighbours from V
        mis.add(v)
        Nv_c = set(np.nonzero(adj[v])[0]).union({v})  # closed neighbourhood of v
        V.difference_update(Nv_c)
        degrees[list(Nv_c)] = len(adj) + 1
    return mis