二维数组的 Python Earth Mover 距离

Question

我想计算两个二维阵列之间的地球移动距离（这些不是图像）。

现在我浏览了两个库：scipy ( https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.wasserstein_distance.html ) 和pyemd ( https://pypi.org/project/pyemd / )。

#define a sampeling method
def sampeling2D(n, mu1, std1, mu2, std2):
   #sample from N(0, 1) in the 2D hyperspace
   x = np.random.randn(n, 2)

   #scale N(0, 1) -> N(mu, std)
   x[:,0] = (x[:,0]*std1) + mu1
   x[:,1] = (x[:,1]*std2) + mu2

   return x

#generate two sets
Y1 = sampeling2D(1000, 0, 1, 0, 1)
Y2 = sampeling2D(1000, -1, 1, -1, 1)

#compute the distance
distance = pyemd.emd_samples(Y1, Y2)

虽然scipy版本不接受二维数组并返回错误，但pyemd方法返回一个值。如果你从文档中看到，它说它只接受一维数组，所以我认为输出是错误的。在这种情况下如何计算这个距离？

Answer 1

因此，如果我理解正确的话，您正在尝试传输采样分布，即计算所有集群权重为 1 的设置的距离。通常，您可以将 EMD 的计算视为最小成本流的一个实例，在您的情况下，这归结为线性分配问题：您的两个数组是二部图中的分区，两个顶点之间的权重是您选择的距离。假设你要使用的欧几里得范数为度量标准，边缘的权重，即地面的距离，可以使用获得的scipy.spatial.distance.cdist，而事实上SciPy的提供了线性和分配问题的求解器，以及在scipy.optimize.linear_sum_assignment（其最近看到了 SciPy 1.4 中可用的巨大性能改进。如果您遇到性能问题，这可能会让您感兴趣；对于 1000x1000 输入，1.3 实现有点慢）。

换句话说，你想做的事情归结为

from scipy.spatial.distance import cdist
from scipy.optimize import linear_sum_assignment

d = cdist(Y1, Y2)
assignment = linear_sum_assignment(d)
print(d[assignment].sum() / n)

也可以scipy.sparse.csgraph.min_weight_bipartite_full_matching用作替代品linear_sum_assignment；虽然是为稀疏输入（你的肯定不是）而设计的，但它可能会在某些情况下提供性能改进。

验证此计算的结果是否与您从最小成本流求解器中得到的结果相匹配可能会有所启发；NetworkX 中提供了一种这样的求解器，我们可以在其中手动构建图形：

import networkx as nx

G = nx.DiGraph()

# Represent elements in Y1 by 0, ..., 999, and elements in
# Y2 by 1000, ..., 1999.
for i in range(n):
    G.add_node(i, demand=-1)
    G.add_node(n + i, demand=1)

for i in range(n):
    for j in range(n):
        G.add_edge(i, n + j, capacity=1, weight=d[i, j])

此时，我们可以验证上述方法是否符合最小成本流：

In [16]: d[assignment].sum() == nx.algorithms.min_cost_flow_cost(G)
Out[16]: True

同样，看到结果与scipy.stats.wasserstein_distance一维输入一致也是有益的：

from scipy.stats import wasserstein_distance

np.random.seed(0)
n = 100

Y1 = np.random.randn(n)
Y2 = np.random.randn(n) - 2
d =  np.abs(Y1 - Y2.reshape((n, 1)))

assignment = linear_sum_assignment(d)
print(d[assignment].sum() / n)       # 1.9777950447866477
print(wasserstein_distance(Y1, Y2))  # 1.977795044786648