使到一组 n 个点的欧氏距离之和最小的点

Question

我W={(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)}在二维平面上有一组点。您能找到一种算法，将这些点作为输入并返回(x, y)2D 平面上与 中的点的距离总和最小的点W吗？换句话说，如果

di = Euclidean_distance((x, y), (xi, yi))

我想最小化：

d1 + d2 + ... + dn

Answer 1

问题

您正在寻找几何中位数。

一个简单的解决方案

这个问题没有封闭形式的解决方案，因此使用迭代或概率方法。找到它的最简单方法可能是使用 Weiszfeld 算法：

我们可以在 Python 中实现它，如下所示：

import numpy as np
from numpy.linalg import norm as npnorm
c_pt_old = np.random.rand(2)
c_pt_new = np.array([0,0])

while npnorm(c_pt_old-c_pt_new)>1e-6:
    num   = 0
    denom = 0
    for i in range(POINT_NUM):
        dist   = npnorm(c_pt_new-pts[i,:])
        num   += pts[i,:]/dist
        denom += 1/dist
    c_pt_old = c_pt_new
    c_pt_new = num/denom

print(c_pt_new)

Weiszfeld 的算法有可能不会收敛，因此最好从不同的起点运行它几次。

通用解决方案

您也可以使用二阶锥规划 (SOCP)找到它。除了解决您的特定问题之外，此通用公式还允许您轻松添加约束和权重，例如每个数据点位置的可变不确定性。

为此，您创建了许多表示建议中心点和数据点之间距离的指示变量。

然后最小化指标变量的总和。结果如下

import cvxpy as cp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#Generate random test data
POINT_NUM = 100
pts       = np.random.rand(POINT_NUM,2)

c_pt      = cp.Variable(2)           #The center point we wish to locate
distances = cp.Variable(POINT_NUM)   #Distance from the center point to each data point

#Generate constraints. These are used to hold distances.
constraints = []                     
for i in range(POINT_NUM):
    constraints.append( cp.norm(c_pt-pts[i,:])<=distances[i] ) 

objective = cp.Minimize(cp.sum(distances))

problem = cp.Problem(objective,constraints)

optimal_value = problem.solve()

print("Optimal value = {0}".format(optimal_value))
print("Optimal location = {0}".format(c_pt.value))

plt.scatter(x=pts[:,0], y=pts[:,1], s=1)
plt.scatter(c_pt.value[0], c_pt.value[1], s=10)
plt.show()

SOCP 在许多求解器中可用，包括 CPLEX、Elemental、ECOS、ECOS_BB、GUROBI、MOSEK、CVXOPT 和 SCS。

我已经测试过，这两种方法在公差范围内给出了相同的答案。

Weiszfeld, E. (1937)。“Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum”。东北数学杂志。43：355-386。