不了解Monoid定义中的态素表示法

Question

我试图Monoid从类别理论的角度理解什么，但是我与用来描述它的符号有些混淆。这是维基百科：

在范畴论中，在一个单曲面范畴（C，α，I）中的一个单曲面（或单曲面对象）（M，？，I）是一个具有两个同态的对象M

？：M？M？M称为乘法

？： 一世 ？M称为单位

我对态素表示法感到困惑。为什么二进制运算?是射态符号的一部分？我对态射的理解是，它是一种可以从一种类型映射到另一种类型（域到共域）的函数，例如M ? M。为什么操作?是定义中域的一部分？第二个困惑是关于I。为什么是I域名？根本没有I对象Monoid。它只是对象的中性元素M。

我知道这Monoid是一个具有一个对象，同一性同态和在该对象上定义的二进制运算的类别，但是这种表示法使我认为我不了解某些内容。

被M ? M莫名其妙相关笛卡尔积，因此该射的域定义M x M？

编辑：在数学栈交换上，我的问题得到了非常有帮助的答案。

Answer 1

是M ? M一些如何与笛卡尔积，因此该射的域定义M x M？

究竟。更具体地讲，我们得到那些被表达类群Monoid从类基地采摘Hask（该类别所有的Haskell类型为对象，所有的Haskell功能态射）为Ç，(,)（对类型构造）作为？和()（单位类型），为我。的签名？和？，翻译成Haskell，然后变成：

? :: (M, M) -> M
? :: () -> M

通过诅咒？，并利用() -> M函数与M值一一对应的关系（它们\() -> m对于某些人来说都是相似的m），我们得到了熟悉的Monoid方法：

mappend :: M -> M -> M
mempty :: M

请注意，分类定义远不止于Monoid。例如，我们可能会继续工作在Hask在更换(,)和()他们的对偶，Either和Void，从而获得：

? :: Either A A -> A
? :: Void -> A

每个Haskell类型都以这种特定方式是一个monoid （？是either id id，？是absurd）。

另一个例子是将C设为Haskell Functor的类别（它们之间具有自然变换-我将写为type f ~> g = forall a. f a -> g a-态射），Compose如？，并Identity为我：

-- Note the arrows here are ~>, and not ->
? :: Compose M M ~> M
? :: Identity ~> M

这两个通常写为：

-- "Inlining" the definitions of Compose, Identity, and ~>
join :: M (M a) -> M a
return :: a -> M a

换句话说，a Monad是Functors 类别中的一个类群（这是Hask特定的版本，“ monad是一个内窥镜类别中的一个类群”）。值得一提的是，就像在另一个示例中一样，这不是将类人猿从该类别中删除的唯一方法（有关指针，请参见此答案的最后一段-实际上，其他内容可能与阅读有关，因为它讨论了等分类别的概念）。