Quaternion division and hyperbolic tangent tanh

Question

Quaternion multiplication is well-defined, and is known to me as "Hamilton product":

// hamilton product
vec4 qmul(in vec4 q1, in vec4 q2) {
    return vec4(
        q1.w * q2.xyz + q2.w * q1.xyz - cross(q1.xyz, q2.xyz),
        q1.w*q2.w - dot(q1.xyz, q2.xyz)
    );
}

However, for implementing qtanh() quaternionic function, we need division. So far I've found this, and it is working OK. Could you help me to undestand, where does this comes from?

// division
// https://www.boost.org/doc/libs/1_67_0/boost/math/quaternion.hpp
vec4 qdiv(in vec4 q1, in vec4 q2) {
float denominator = dot(q2,q2);
return vec4( 
    vec3(
        -q1.w*q2.x+q1.x*q2.w-q1.y*q2.z+q1.z*q2.y,
        -q1.w*q2.y+q1.x*q2.z+q1.y*q2.w-q1.z*q2.x,
        -q1.w*q2.z-q1.x*q2.y+q1.y*q2.x+q1.z*q2.w
    ),
    q1.w*q2.w + dot(q1.xyz, q2.xyz)
) / denominator;
}

Also, as far as I am trying to implement tanh().. are you aware of more computationally vat, than dividing sinh and cosh? For reals I've used to use following formula: tanh(x)=-1+2/(1+exp(-x)). And that involves only single exponential calculus, instead of two..

Answer 1

1. 部门

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将名为p的四元数除以名为q的四元数无非是将p乘以q的倒数。

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这相当于将p乘以q的共轭（根据定义等于a\xc2\xa0\xe2\x80\x93\xc2\xa0bi\xc2\xa0\xe2\x80\x93\xc2\xa0cj\xc2\xa0\ xe2\x80\x93\xc2\xa0dk ) 并将乘积除以等于q范数平方的标量：

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从这里很明显该denominator部分来自哪里：

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现在让我们重新排列总和中的术语vec3以提高可读性：

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vec3(\n    -q1.w*q2.x + q1.x*q2.w - (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),\n    -q1.w*q2.y + q1.y*q2.w - (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),\n    -q1.w*q2.z + q1.z*q2.w - (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)\n)\n

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现在突然明白发生了什么：

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vec3(\n    -q1.w * q2.x    +  q1.x   * q2.w  -  (q1.y*q2.z - q1.z*q2.y),\n    -q1.w * q2.y    +  q1.y   * q2.w  -  (q1.z*q2.x - q1.x*q2.z),\n    -q1.w * q2.z    +  q1.z   * q2.w  -  (q1.x*q2.y - q1.y*q2.x)\n)\n\n...\n\n    -q1.w * q2.xyz  +  q1.xyz * q2.w  -  (cross(q1.xyz, q2.xyz))\n

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所以是的，四元数除法只是常规的普通乘法，被乘数是倒数。这就是缺点的来源，请参阅上面的定义。

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2.双曲正切

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首先，定义。对于每个q\xc2\xa0=\xc2\xa0a\xc2\xa0+\xc2\xa0bi\xc2\xa0+\xc2\xa0cj\xc2\xa0+\xc2\xa0dk = a + v\xcc\x85：

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因此，要获得e ^q和e ^{\xe2\x80\x93q，}您只需计算以下值：e ^a , ||v\xcc\x85|| 、sin(||v\xcc\x85||)、cos(||v\xcc\x85||)。

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要计算e ^{\xe2\x80\x93q，}您应该取e ^a的倒数，并将其乘以等式的其余部分，并且符号相反。这不会花费太多时间，因为它包含的所有值都已经计算出来了。exp()根据要求，一通电话 =)

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