对数正态分布的均值和标准偏差与分析值不匹配

Question

作为我研究的一部分,我从对数正态分布中测量绘制的均值和标准差.给定基础正态分布的值,应该可以分析预测这些量(如https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution所示).

但是,如下图所示,情况似乎并非如此.第一个图显示对数正态数据相对于高斯西格玛的平均值,而第二个图显示对数正态数据的西格玛与高斯的西格玛.显然,"计算"线非常显着地偏离"分析"线.

我将高斯分布的均值与sigma相关联,mu = -0.5*sigma**2因为这确保了对数正态场应该具有1的均值.注意,这是由我工作的物理领域的动机:与分析值的偏差仍然如果设置mu=0.0为例,则会发生.

通过复制和粘贴问题底部的代码,应该可以重现下面的图表.任何关于可能导致这种情况的建议都将不胜感激!

高斯对数正态与西格玛的平均值:

对数正态西格玛与高斯西格玛:

注意,为了生成上面的图,我使用了N=10000,但是N=1000为了速度已经输入了下面的代码.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

mean_calc = []
sigma_calc = []
mean_analytic = []
sigma_analytic = []
ss = np.linspace(1.0,10.0,46)
N = 1000

for s in ss:
  mu = -0.5*s*s
  ln = np.random.lognormal(mean=mu, sigma=s, size=(N,N))
  mean_calc += [np.average(ln)]
  sigma_calc += [np.std(ln)]
  mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
  sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

plt.loglog(ss,mean_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,mean_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\mu_{LN}$')
plt.show()

plt.loglog(ss,sigma_calc,label='calculated')
plt.loglog(ss,sigma_analytic,label='analytic')
plt.legend();plt.grid()
plt.xlabel(r'$\sigma_G$')
plt.ylabel(r'$\sigma_{LN}$')
plt.show()

Answer 1

TL; DR

对数正态是正偏态和重尾分布.当对从高度偏斜的分布中抽取的样本执行浮点算术运算(例如sum,mean或std)时,采样向量包含的差异超过几个数量级(数十年).这使得计算不准确.

问题来自这两行:

mean_calc += [np.average(ln)]
sigma_calc += [np.std(ln)]

因为ln包含非常低和非常高的值,其数量级远高于浮点精度.

可以使用以下谓词轻松检测到该问题以警告用户其计算错误:

 (max(ln) + min(ln)) <= max(ln)

这在Strictly Positive Real中显然是错误的,但在使用有限精度算术时必须考虑.

修改你的MCVE

如果我们稍微修改你的MCVE:

from scipy import stats

for s in ss:
    mu = -0.5*s*s
    ln = stats.lognorm(s, scale=np.exp(mu)).rvs(N*N)
    f = stats.lognorm.fit(ln, floc=0)
    mean_calc += [f[2]*np.exp(0.5*s*s)]
    sigma_calc += [np.sqrt((np.exp(f[0]**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]
    mean_analytic += [np.exp(mu+0.5*s*s)]
    sigma_analytic += [np.sqrt((np.exp(s**2)-1)*(np.exp(2*mu + s*s)))]

即使对于高sigma值,它也给出了合理正确的均值和标准差估计.

关键是fit使用MLE算法估计参数.这完全不同于您直接执行样本均值的原始方法.

该fit方法返回一个元组,(sigma, loc=0, scale=exp(mu))该元组是scipy.stats.lognorm文档中指定的对象参数.

我认为您应该研究如何估算平均值和标准差.分歧可能来自算法的这一部分.

可能有几个原因导致它出现分歧,至少考虑:

• 有偏见的估算器:您的估算器是否正确且无偏见？均值是无偏估计(见下一节)但可能效率不高;
• 伪随机生成器的采样异常值可能不像它们应该与理论分布相比那么强烈:MLE可能不如估计器敏感新MCVE波纹管不支持这个假设,但浮点算术误差可以解释为什么你的估算器被低估了;
• 浮动算术错误新的MCVE轰鸣声突出显示它是您问题的一部分.

科学的报价

似乎天真的平均估计量(简单地取均值),即使是无偏见的,也无法正确估计大型西格玛的均值(参见Qi Tang,"估算对数正态均值的不同方法的比较",第11页):

天真的估算器很容易计算,而且没有偏见.然而,当方差大且样本量小时,该估计器可能是低效的.

本文回顾了几种估计对数正态分布均值的方法,并以MLE为参考进行比较.这就解释了为什么你的方法随着sigma的增加而变化,并且MLE更好地a对于大N来说它没有时间效率.非常有趣的论文.

统计考虑

回顾:

• 对数正态是一个重的长尾分布正偏态.一个结果是:随着形状参数sigma的增长,不对称性和skweness增长,异常值的强度也增加.
• 样本大小的影响:随着从分布中抽取的样本数量增加,具有异常值的期望增加(程度也是如此).

建立一个新的MCVE

让我们建立一个新的MCVE,使其更清晰.下面的代码从对数正态分布中绘制不同大小的样本(N范围在100和之间10000),其中形状参数变化(sigma范围在0.1和之间10)并且比例参数被设置为单一的.

import warnings
import numpy as np
from scipy import stats

# Make computation reproducible among batches:
np.random.seed(123456789)

# Parameters ranges:
sigmas = np.arange(0.1, 10.1, 0.1)
sizes = np.logspace(2, 5, 21, base=10).astype(int)

# Placeholders:
rv = np.empty((sigmas.size,), dtype=object)
xmean = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xstd = np.full((3, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
xextent = np.full((2, sigmas.size, sizes.size), np.nan)
eps = np.finfo(np.float64).eps

# Iterate Shape Parameter:
for (i, s) in enumerate(sigmas):
    # Create Random Variable:
    rv[i] = stats.lognorm(s, loc=0, scale=1)
    # Iterate Sample Size:
    for (j, N) in enumerate(sizes):
        # Draw Samples:
        xs = rv[i].rvs(N)
        # Sample Extent:
        xextent[:,i,j] = [np.min(xs), np.max(xs)]
        # Check (max(x) + min(x)) <= max(x)
        if (xextent[0,i,j] + xextent[1,i,j]) - xextent[1,i,j] < eps:
            warnings.warn("Potential Float Arithmetic Errors: logN(mu=%.2f, sigma=%2f).sample(%d)" % (0, s, N))
        # Generate different Estimators:
        # Fit Parameters using MLE:
        fit = stats.lognorm.fit(xs, floc=0)
        xmean[0,i,j] = fit[2]
        xstd[0,i,j] = fit[0]
        # Naive (Bad Estimators because of Float Arithmetic Error):
        xmean[1,i,j] = np.mean(xs)*np.exp(-0.5*s**2)
        xstd[1,i,j] = np.sqrt(np.log(np.std(xs)**2*np.exp(-s**2)+1))
        # Log-transform:
        xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
        xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

观察:新MCVE开始时会发出警告sigma > 4.

MLE作为参考

使用MLE估算形状和比例参数表现良好:

上面的两个数字显示:

• 估计误差与形状参数一起增长;
• 随着样本量的增加(CTL),估计误差减小;

注意比MLE还适合形状参数:

浮动算术

绘制样本的范围与形状参数和样本大小的关系是值得的:

或者,最小和最大数字之间的小数幅度构成样本:

在我的设置上:

np.finfo(np.float64).precision  # 15
np.finfo(np.float64).eps        # 2.220446049250313e-16

这意味着我们最多可以使用15个有效数字,如果两个数字之间的数量超过,那么最大数字会吸收较小的数字.

一个基本的例子:1 + 1e6如果我们只保留四个有效数字,结果是什么？确切的结果是,1,000,001.0但必须四舍五入到1.000e6.这意味着:由于舍入精度,操作的结果等于最高数.它是有限精度算术的固有特性.

上面的两个数字与统计学考虑相结合支持了您的观察,即增加N不会改善sigmaMCVE中大值的估计.

上图和下图显示的是sigma > 3我们没有足够的有效数字(小于5)来执行有效计算.

此外,我们可以说估计量将被低估,因为最大数字将吸收最小值,然后低估的总和将通过N使估计量默认偏差来划分.

当形状参数变得足够大时,由于算术浮点错误,计算会产生很大的偏差.

这意味着使用如下数量:

np.mean(xs)
np.std(xs)

当计算估计将具有巨大的算术浮点错误,因为存储的值之间存在重要差异xs.下图重现了您的问题:

如上所述,估计是默认的(不过量),因为采样矢量中的高值(少数异常值)吸收小值(大多数采样值).

对数变换

如果我们应用对数变换,我们可以大大减少这种现象:

xmean[2,i,j] = np.exp(np.mean(np.log(xs)))
xstd[2,i,j] = np.std(np.log(xs))

然后,平均值的朴素估计是正确的,并且受算术浮点误差的影响要小得多,因为所有样本值都将在几十年内,而不是相对幅度高于浮点算术精度.

实际上,对于每个,N并且采用对数变换返回与MLE相同的均值和标准估计结果,并且sigma:

np.allclose(xmean[0,:,:], xmean[2,:,:])  # True
np.allclose(xstd[0,:,:], xstd[2,:,:])    # True

参考

如果您在进行科学计算时正在寻找对此类问题的完整而详细的解释,我建议您阅读优秀的书:NJ Higham,数值算法的准确性和稳定性,Siam,第二版,2002.

奖金

这里是图生成代码的示例:

import matplotlib.pyplot as plt

fig, axe = plt.subplots()
idx = slice(None, None, 5)
axe.loglog(sigmas, xmean[0,:,idx])
axe.axhline(1, linestyle=':', color='k')
axe.set_title(r"MLE: $x \sim \log\mathcal{N}(\mu=0,\sigma)$")
axe.set_xlabel(r"Standard Deviation, $\sigma$")
axe.set_ylabel(r"Mean Estimation, $\hat{\mu}$")
axe.set_ylim([0.1,10])
lgd = axe.legend([r"$N = %d$" % s for s in sizes[idx]] + ['Exact'], bbox_to_anchor=(1,1), loc='upper left')
axe.grid(which='both')
fig.savefig('Lognorm_MLE_Emean_Sigma.png', dpi=120, bbox_extra_artists=(lgd,), bbox_inches='tight')