使用向上矢量查看四元数

Question

我有一个相机(在自定义3D引擎中)接受四元数进行旋转变换.我有两个3D点代表一个摄像头和一个要查看的对象.我想计算从摄像机到物体的四元数,同时尊重世界的轴.

没有"向上"向量,这个问题要求同样的事情.所有三个答案都会导致相机指向正确的方向,但滚动(如偏航/俯仰/滚动;想象一下看着某些东西时,将头部贴在耳朵上).

我可以通过以下方式计算与所需坐标系匹配的矢量的标准正交基:

lookAt = normalize(target - camera)
sideaxis = cross(lookAt, worldUp)
rotatedup = cross(sideaxis, lookAt)

如何从这三个向量创建四元数？这个问题要求同样的事情......但不幸的是,唯一和接受的答案是"让我们假设你不关心滚动",然后忽略向上轴.我关心滚动.我不想忽略上轴.

Answer 1

以前的答案使用角度给出了有效的解决方案。这个答案将提供另一种方法。

正交基向量，重命名它们F = lookAt, R = sideaxis, U = rotatedup，直接形成3x3 旋转矩阵的列，相当于您想要的四元数：

与向量相乘等效于使用所述向量的分量作为相机基础中的坐标。

3x3 旋转矩阵可以转换为四元数，而无需转换为角度/使用昂贵的三角函数。下面是一个数值稳定的 C++ 片段，它执行此操作，返回一个规范化的四元数：

inline void CalculateRotation( Quaternion& q ) const {
  float trace = a[0][0] + a[1][1] + a[2][2];
  if( trace > 0 ) {
    float s = 0.5f / sqrtf(trace + 1.0f);
    q.w = 0.25f / s;
    q.x = ( a[2][1] - a[1][2] ) * s;
    q.y = ( a[0][2] - a[2][0] ) * s;
    q.z = ( a[1][0] - a[0][1] ) * s;
  } else {
    if ( a[0][0] > a[1][1] && a[0][0] > a[2][2] ) {
      float s = 2.0f * sqrtf( 1.0f + a[0][0] - a[1][1] - a[2][2]);
      q.w = (a[2][1] - a[1][2] ) / s;
      q.x = 0.25f * s;
      q.y = (a[0][1] + a[1][0] ) / s;
      q.z = (a[0][2] + a[2][0] ) / s;
    } else if (a[1][1] > a[2][2]) {
      float s = 2.0f * sqrtf( 1.0f + a[1][1] - a[0][0] - a[2][2]);
      q.w = (a[0][2] - a[2][0] ) / s;
      q.x = (a[0][1] + a[1][0] ) / s;
      q.y = 0.25f * s;
      q.z = (a[1][2] + a[2][1] ) / s;
    } else {
      float s = 2.0f * sqrtf( 1.0f + a[2][2] - a[0][0] - a[1][1] );
      q.w = (a[1][0] - a[0][1] ) / s;
      q.x = (a[0][2] + a[2][0] ) / s;
      q.y = (a[1][2] + a[2][1] ) / s;
      q.z = 0.25f * s;
    }
  }
}

资料来源：http : //www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/matrixToQuaternion

将其转换为适合您的情况当然只是将矩阵元素与相应的向量分量交换的问题：

// your code from before
F = normalize(target - camera);   // lookAt
R = normalize(cross(F, worldUp)); // sideaxis
U = cross(R, F);                  // rotatedup

// note that R needed to be re-normalized
// since F and worldUp are not necessary perpendicular
// so must remove the sin(angle) factor of the cross-product
// same not true for U because dot(R, F) = 0

// adapted source
Quaternion q;
double trace = R.x + U.y + F.z;
if (trace > 0.0) {
  double s = 0.5 / sqrt(trace + 1.0);
  q.w = 0.25 / s;
  q.x = (U.z - F.y) * s;
  q.y = (F.x - R.z) * s;
  q.z = (R.y - U.x) * s;
} else {
  if (R.x > U.y && R.x > F.z) {
    double s = 2.0 * sqrt(1.0 + R.x - U.y - F.z);
    q.w = (U.z - F.y) / s;
    q.x = 0.25 * s;
    q.y = (U.x + R.y) / s;
    q.z = (F.x + R.z) / s;
  } else if (U.y > F.z) {
    double s = 2.0 * sqrt(1.0 + U.y - R.x - F.z);
    q.w = (F.x - R.z) / s;
    q.x = (U.x + R.y) / s;
    q.y = 0.25 * s;
    q.z = (F.y + U.z) / s;
  } else {
    double s = 2.0 * sqrt(1.0 + F.z - R.x - U.y);
    q.w = (R.y - U.x) / s;
    q.x = (F.x + R.z) / s;
    q.y = (F.y + U.z) / s;
    q.z = 0.25 * s;
  }
}

（不用说交换y，z如果你使用 OpenGL。）