非常小方阵的特征线性解算器

Question

我在C++程序上使用Eigen来求解非常小的方阵(4X4)的线性方程.

我的测试代码就像

template<template <typename MatrixType> typename EigenSolver>
Vertor3d solve(){
   //Solve Ax = b and A is a real symmetric matrix and positive semidefinite

   ... // Construct 4X4 square matrix A and 4X1 vector b

   EigenSolver<Matrix4d> solver(A);
   auto x = solver.solve(b);

   ... // Compute relative error for validating
}

我测试了一些EigenSolver,其中包括:

1. FullPixLU
2. PartialPivLU
3. HouseholderQR
4. ColPivHouseholderQR
5. ColPivHouseholderQR
6. CompleteOrthogonalDecomposition
7. 活体肝移植
8. 直接反向

直接反转是:

template<typename MatrixType>
struct InverseSolve
{
private:
    MatrixType  inv;
public:
    InverseSolve(const MatrixType &matrix) :inv(matrix.inverse()) {
    }
    template<typename VectorType>
    auto solve(const VectorType & b) {
        return inv * b;
    }
};

我发现快速方法是DirectInverse,即使我将Eigen与MKL联系起来,结果也没有改变.

这是测试结果

1. FullPixLU:477毫秒
2. PartialPivLU:468毫秒
3. HouseholderQR:849毫秒
4. ColPivHouseholderQR:766毫秒
5. ColPivHouseholderQR:857毫秒
6. CompleteOrthogonalDecomposition:832毫秒
7. LDLT:477毫秒
8. 直接反转:88毫秒

所有都使用1000000矩阵,随机双倍来自均匀分布[0,100].我先构造上三角,然后复制到下三角.

DirectInverse的唯一问题是它的相对误差比其他求解器略大但可接受.

我的程序有更快或更优雅的解决方案吗？DirectInverse是我程序的快速解决方案吗？

DirectInverse不使用对称信息,那么为什么DirectInverse比LDLT快得多？

Answer 1

尽管许多人建议当您只想解决线性系统时永远不要明确计算逆，但对于非常小的矩阵，这实际上是有益的，因为存在使用辅助因子的封闭形式的解决方案。

您测试的所有其他替代方案都会变慢，因为它们会进行旋转（这意味着分支），即使对于小的固定大小的矩阵也是如此。此外，它们中的大多数会导致更多的划分，并且不像直接计算那样可向量化。

为了提高准确性（如果需要，这种技术实际上可以独立于求解器使用），您可以通过使用残差再次求解系统来优化初始解：

Eigen::Vector4d solveDirect(const Eigen::Matrix4d& A, const Eigen::Vector4d& b)
{
    Eigen::Matrix4d inv = A.inverse();
    Eigen::Vector4d x = inv * b;
    x += inv*(b-A*x);
    return x;
}

我不认为 Eigen 直接提供了一种利用A此处对称性的方法（对于直接计算的逆）。您可以尝试通过显式地将 selfadjoint 视图复制A到临时视图中来暗示这一点，并希望编译器足够聪明以找到常见的子表达式：

Eigen::Matrix4d tmp = A.selfadjointView<Eigen::Upper>();
Eigen::Matrix4d inv = tmp.inverse();

为了减少某些划分，您还可以使用-freciprocal-math（在 gcc 或 clang 上）进行编译，这当然会稍微降低准确性。

如果这确实对性能至关重要，请尝试实现手动调整的inverse_4x4_symmetric方法。利用 的对称性inv * b不太可能对这样的小矩阵有益。