使用端点和凸出距离绘制圆弧。在OpenCV或PIL中

Question

使用脚本将dxf转换为png时，我需要绘制仅具有三个参数的圆弧，即圆弧的起点，圆弧的终点和凸出距离。

我已经检查了OpenCV和PIL，它们都需要起点和终点角度来绘制此弧。我可以使用某些几何来找出这些角度，但想知道是否还有其他解决方案我错过了。

Answer 1

定义圆弧的信息有三部分：圆上的两个点（定义该圆的弦）和凸出距离（称为圆弧的弧矢）。

参见下图：

这里小号是矢，升是弦长的一半，和- [R是当然的半径。其他重要的非标记位置是和弦与圆相交的点，箭矢与圆相交的点以及半径从其延伸的圆心。

对于OpenCV的ellipse()功能，我们将使用以下原型：

cv2.ellipse(img, center, axes, angle, startAngle, endAngle, color[, thickness[, lineType[, shift]]]) ? img

下图描述了大多数参数：

由于我们正在绘制一个圆形，而不是椭圆弧，主要/次要轴将具有相同的大小，而且也没有差进行旋转，所以轴将仅仅是(radius, radius)和angle应为零简化。然后，我们唯一需要的参数是圆心，半径以及工程图的开始角度和结束角度（对应于弦的点）。角度很容易计算（圆上只有一些角度）。因此，最终我们需要找到圆的半径和中心。

查找半径和中心相同找到圆的方程，所以有大量的方法来做到这一点。但是，由于我们在这里进行编程，因此IMO最简单的方法是在圆弧上通过矢状点接触圆的位置定义第三个点，然后从这三个点求解圆。

因此，首先我们需要获取和弦的中点，获得与该中点的垂直线，然后将其扩展到矢状点的长度以到达该第三点，但这很容易。我会开始给出pt1 = (x1, y1)并pt2 = (x2, y2)作为圆我的两点sagitta是“隆起深度”（即你有参数）：

# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2

# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

现在，我们在圆上有了第三点。请注意，箭矢只有一定长度，因此可以向任一方向移动-如果箭矢为负，则它会从弦向一个方向移动；如果箭矢为正，则它会向另一个方向移动。不确定这是否是给您的距离。

然后，我们可以简单地使用行列式来求解半径和中心。

# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
    [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
    [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
    [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

最后，由于我们需要使用开始和结束角度来使用OpenCV绘制椭圆，因此我们可以使用atan2()来获取从中心到初始点的角度：

# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

因此，我将所有这些打包为一个函数：

def convert_arc(pt1, pt2, sagitta):

    # extract point coordinates
    x1, y1 = pt1
    x2, y2 = pt2

    # find normal from midpoint, follow by length sagitta
    n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
    n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

    if np.isclose(n_dist, 0):
        # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
        print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

    n = n/n_dist
    x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

    # calculate the circle from three points
    # see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
    A = np.array([
        [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
        [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
        [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
    M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
    M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
    M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
    M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

    if np.isclose(M11, 0):
        # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
        print('Error: The third point is collinear.')

    cx = 0.5 * M12/M11
    cy = -0.5 * M13/M11
    radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

    # calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
    pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
    pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

    return (cx, cy), radius, pt1_angle, pt2_angle

使用这些值，您便可以使用OpenCV的ellipse()功能进行圆弧处理。但是，这些都是浮点值。ellipse()确实可以让您使用shift参数来绘制浮点值，但是如果您不熟悉它，那会有些奇怪，因此我们可以从该答案中借用解决方案来定义函数

def draw_ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness=1, lineType=cv2.LINE_AA, shift=10):
    # uses the shift to accurately get sub-pixel resolution for arc
    # taken from /sf/answers/3142462221/
    center = (
        int(round(center[0] * 2**shift)),
        int(round(center[1] * 2**shift))
    )
    axes = (
        int(round(axes[0] * 2**shift)),
        int(round(axes[1] * 2**shift))
    )
    return cv2.ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness, lineType, shift)

然后使用这些功能就很简单：

img = np.zeros((500, 500), dtype=np.uint8)
pt1 = (50, 50)
pt2 = (350, 250)
sagitta = 50

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

再次注意，负的箭矢会给圆弧带来另一个方向：

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, -sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 127)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

最后只是为了扩展，我在convert_arc()函数中出现了两个错误情况。第一：

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

这里的错误捕获是因为我们需要获取单位向量，所以我们需要除以不能为零的长度。当然，只有在pt1和pt2是同一点时才会发生这种情况，因此您可以在函数顶部检查它们是否唯一，而不用在此处进行检查。

第二：

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

仅在三个点是共线的情况下才会发生，而仅在矢状点为0时才会发生。因此，再次，您可以在函数顶部进行检查（也许说，确定，如果为0，则只需从中画一条线即可）。pt1到pt2或任何你想做的事）。