浮点：我可以递归地将数字除以/乘以 2 并且永远不会出现舍入错误吗？

Question

http://floating-point-gui.de/formats/binary/

二进制只能将这些数字表示为有限分数，其中分母是 2 的幂

这是否意味着通过此过程计算出的数字都可以相互相加或乘以 2 任意次数，并且仍然具有精确的二进制/浮点表示形式，没有舍入误差？

const dv2 = (num, limit) => {
    limit--;
    if (limit === 0) {
        return;
    } else {
        console.log(num, limit);
        dv2((num / 2), limit)
    }
};

是否可以确定浮点数何时是精确值还是近似值？

Answer 1

是的，只要您使用二进制浮点（例如非常常见的 IEEE-754 二进制浮点）并且不会溢出到无穷大或下溢到次正规数。在二进制浮点中，在达到指数限制之前，乘法或除法都是精确的。

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对于 32 位 IEEE-754 二进制，有限正常值最高可达 2 ¹²⁸ \xe2\x88\x922 ¹⁰⁴，最低可达 2 ^{\xe2\x88\x92126}。（有低至 2 ^{\xe2\x88\x92149 的}正次正规值，但它们的有效数 [小数部分] 中的位数比正常数少，因此精度会降低。）

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对于 64 位 IEEE-754 二进制，有限正常值最高可达 2 ¹⁰²⁴ \xe2\x88\x922 ⁹⁷¹，最低可达 2 ^{\xe2\x88\x921022}。（正次正规值低至 2 ^{\xe2\x88\x921074}。）

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没有办法（没有上下文）来确定浮点数是否精确表示或仅近似某个先前的数字。（有一种方法可以检测浮点运算何时对结果进行舍入。在编程语言的实现中通常会忽略访问此附加信息。）一旦数字转换为浮点数，浮点数就准确地表示它代表什么。它不包含有关先前发生的舍入误差量的信息。（如果您有关于先前数字的其他信息，例如它来自具有五个有效数字的十进制数字，那么您也许能够推断出有关原始数字的信息。）

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