`auto` 如何与双条件（iff）交互

Question

我注意到，这auto忽略了双条件。这是一个简化的示例：

Parameter A B : Prop.
Parameter A_iff_B : A <-> B.

Theorem foo1: A -> B.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem bar1: B -> A.
Proof.
  intros H. apply A_iff_B. assumption.
Qed.

Theorem foo2_failing: A -> B.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

Theorem bar2_failing: B -> A.
Proof.
  intros H. auto using A_iff_B.
Abort.

现在，我知道这A <-> B是一种语法糖，A -> B /\ B -> A所以我写了两个定理来提取一个或另一个：

Theorem iff_forward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> P -> Q.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem iff_backward : forall {P Q : Prop},
  (P <-> Q) -> Q -> P.
Proof.
  intros P Q H. apply H.
Qed.

Theorem foo3: A -> B.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_forward A_iff_B).
Qed.

Theorem bar3: B -> A.
Proof.
  intros H.
  auto using (iff_backward A_iff_B).
Qed.

1. 为什么apply A_iff_B行得通，auto using A_iff_B行不通？我认为这auto n是apply使用给定数据库中的假设和所有定理对长度 <= n的所有可能序列进行详尽搜索。

2. 是否有使用双条件的标准技巧，或者这两个投影函数是通常的解决方案吗？

3. 标准库中有这样的投影函数吗？我找不到他们。

Answer 1

1. 怎么来了apply A_iff_B works又auto using A_iff_B没有呢？

auto通常使用simple apply代替，apply并且这个受限版本apply不处理双条件。

2. 是否有使用双条件的标准技巧，或者这两个投影函数是通常的解决方案？

您可以使用Hint Resolve -> (<-)以下功能：

Hint Resolve -> A_iff_B.
Hint Resolve <- A_iff_B. (* if you remove this one, then `auto` won't be able to prove the `bar3` theorem *)

Theorem foo3: A -> B.
Proof. info_auto. Qed. (* look at the output *)

3. 标准库中是否存在此类投影函数？

是的，它们被称为：proj1和proj2。您可以通过以下方式找到它们：

Search (?A /\ ?B -> ?A).

或者更容易输入，但会发现比我们需要的更多的东西：

Search (_ /\ _ -> _).