3D Perlin噪声分析导数

Question

我目前正在使用Shader Model 4(DirectX 10 HLSL)实现3D Perlin噪声凹凸贴图.生成噪声本身并不是一个大问题(有大量的教程和代码),但我没有找到3D Perlin噪声的分析衍生物.

考虑到衍生品的唯一网站是Ignigo Quilez的网站和相关的GameDev.net讨论.问题是在第一个链接中噪声是基于值的,而不是基于梯度的(这是我的要求),在第二个链接中,只有2D梯度噪声导数.

请注意,我不是在寻找数值导数,因为那些需要生成4个相邻的噪声样本,而且开销太多了.

有人计算过这些衍生物吗？是否有使用它们的参考实现？

Answer 1

我今天也无法在网上找到解决方案,所以我试图推导出它.

首先定义3D Perlin噪声的符号.

符号

假设3D Perlin噪声由三线性插值计算得出

n = Lerp(
        Lerp(
            Lerp(dot000, dot100, u),
            Lerp(dot010, dot110, u),
            v), 
        Lerp(
            Lerp(dot001, dot101, u), 
            Lerp(dot011, dot111, u),
            v),
        w)

其中u,v,w是内插因子由分数坐标的五次多项式(即,改进的Perlin杂):

x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1

u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)

和dot___s是(gx___, gy___, gz___)格点处的梯度向量s和分数坐标的点积:

dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1

计算衍生品

首先,计算的衍生物u,v和w

u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)

通过扩大n与Lerp(a, b, t) = a + (b - a) * t,

n = dot000 
  + u(dot100 - dot000)
  + v(dot010 - dot000)
  + w(dot001 - dot000)
  + uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
  + uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
  + vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
  + uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)

然后取部分导数n,

nx = gx000
   + u'  (dot100 - dot000)
   + u   (gx100 - gx000)
   + v   (gx010 - gx000)
   + w   (gx001 - gx000)
   + u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
   + u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
   + vw  (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
   + u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)

,

ny = gy000
   + u   (gy100 - gy000)
   + v'  (dot010 - dot000)
   + v   (gy010 - gy000)
   + w   (gy001 - gy000)
   + uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
   + uw  (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
   + v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
   + uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)

,

nz = gz000
   + u   (gz100 - gz000)
   + v   (gz010 - gz000)
   + w'  (dot001 - dot000)
   + w   (gz001 - gz000)
   + uv  (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
   + uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
   + vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
   + uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)

然后(nx, ny, nz)是噪声函数的梯度向量(偏导数).

优化

如果编译器无法处理它,可以将一些常见的子表达式考虑在内.例如:

uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w

扩展n中的系数被重复使用多次.它们可以通过以下方式计算

k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3

衍生物也具有相似的系数,

gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...

的计算n可以使用与扩展形式k0,...... k6为好.

最后的话

已经针对中心差分方法验证了该解决方案.

虽然这个解决方案看起来很笨拙,但我的实验(仅CPU,SSE)表明,通过这种解决方案计算这些衍生物只会产生大约50%的额外时间来计算单个3D Perlin噪声样本.

有限差异将至少需要300%的额外时间(做额外的3个样本)或600%(对于中心差异做6个样本).

因此,该解决方案在性能上更好,并且还应该在数值上更稳定.