四元数是否会翻转符号以实现非常相似的旋转？

Question

考虑以下最小工作示例：

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <eigen3/Eigen/Dense>

int main() {
  // Set the rotation matrices that give an example of the problem
  Eigen::Matrix3d rotation_matrix_1, rotation_matrix_2;
  rotation_matrix_1 << 0.15240781108708346, -0.98618841818279246, -0.064840288106743013,
                       -0.98826031445019891, -0.1527775600229907, 0.00075368177315370682,
                       -0.0106494132438156, 0.063964216524108775, -0.99789536976680049;
  rotation_matrix_2 << -0.12448670851248633, -0.98805453458380521, -0.090836645094957508,
                       -0.99167686914182451, 0.12086367053038971, 0.044372968742129482,
                       -0.03286406263376359, 0.095604444636749664, -0.99487674792051639;

  // Convert to Euler angles
  Eigen::Vector3d euler_angles_1 = rotation_matrix_1.eulerAngles(2, 1, 0)*180.0f/M_PI;
  Eigen::Vector3d euler_angles_2 = rotation_matrix_2.eulerAngles(2, 1, 0)*180.0f/M_PI;

  // Convert to quaternion
  Eigen::Quaternion<double> quaternion_1(rotation_matrix_1);
  Eigen::Quaternion<double> quaternion_2(rotation_matrix_2);

  // Print out results
  std::cout << "Euler angles 1:\nyaw = " << euler_angles_1[0] << "\npitch = " << euler_angles_1[1] << "\nroll = " << euler_angles_1[2] << std::endl;
  std::cout << "Quaternion 1:\nw = " << quaternion_1.w() << "\nx = " << quaternion_1.x() << "\ny = " << quaternion_1.y() << "\nz = " << quaternion_1.z() << std::endl;
  std::cout << std::endl;
  std::cout << "Euler angles 2:\nyaw = " << euler_angles_2[0] << "\npitch = " << euler_angles_2[1] << "\nroll = " << euler_angles_2[2] << std::endl;
  std::cout << "Quaternion 2:\nw = " << quaternion_2.w() << "\nx = " << quaternion_2.x() << "\ny = " << quaternion_2.y() << "\nz = " << quaternion_2.z() << std::endl;
}

其输出是：

Euler angles 1:
yaw = 98.767
pitch = 179.39
roll = -3.66759
Quaternion 1:
w = 0.020826
x = 0.758795
y = -0.650521
z = -0.0248716

Euler angles 2:
yaw = 82.845
pitch = 178.117
roll = -5.48908
Quaternion 2:
w = -0.0193663
x = -0.661348
y = 0.748369
z = 0.0467608

两次旋转几乎相同（由欧拉角给出）。预期的行为是quaternion_2将具有与相同的符号的值quaternion_1，即输出为：

Quaternion 2:
w = 0.0193663
x = 0.661348
y = -0.748369
z = -0.0467608

但是，本征似乎会“翻转”四元数。我知道q和-q表示相同的旋转-但是，从外观上看，四元数会在其每个值中翻转符号，这在视觉上并不吸引人，并且令人讨厌。在一般情况下该如何纠正（即四元数始终保留其“手性”，而不是在某些旋转时翻转符号）？

Answer 1

当单位四元数用于表示3d旋转时，有两种方法可以表示每个实际旋转-并且，如果不在空间中创建人为的不连续性，就无法避免出现“负”旋转。

与在单位圆上使用复数的2d旋转不同，单位超球面上距“ 0旋转”最远的点必须是“ 360度旋转”，而不是“ 180度”。因为存在需要表示的可能旋转180度的2d空间，而所有360度旋转都是等效的，而与轴无关。

当w分量为负时，您始终可以通过更改整个符号来“规范化”。仍然会有w = 0的情况，它们都表示旋转180度-例如（0,0,1,0）和（0,0，-1,0）表示相同旋转。

并且（0.01，0.99995,0,0,0）和（-0.01，0.99995,0,0）表示旋转非常接近，但是如果将第二个旋转更改为等效的（0.01，-0.99995,0,0）那么它们在4d向量空间中相距甚远。

因此，实际上，当您想查找两个旋转之间的差异以查看它们之间有多接近时，您仍然会有所顾虑。分别对两者进行规范化可能没有帮助；您通常需要根据需要翻转标志以使其尽可能接近。

或者，比较旋转q1，q2：找到四元数乘积q1 * q2.conj（）; 这给出了作为旋转四元数的差异；如果w <0，则更改其符号。对于q1和q2靠近在一起（与初始符号差异无关），结果将始终非常接近（1,0,0,0）。

如果只想检查它们是否在彼此的某个角度“ th”内，则只需要结果的真实部分。这等效于找到q1，q2的点积（将它们作为4空间中的单位矢量进行处理），然后检查abs是否为abs。结果的值> = cos（th / 2）。

找到相对角度的另一种方法是：找到两个单位矢量的矢量差，然后找到该差矢量的大小“ m”（平方和的平方根），其范围为[0,2]。然后找到

th = 4*arcsin(m/2)

...这将是0 ... 2 * pi。

在m> sqrt（2），th> pi的情况下，您会得到“错误的一面”结果（同样，当m接近2.0时，计算将具有可怕的数值精度）。因此，在这种情况下，请更改符号之一（即，使m 为输入总和的向量长度，而不是差值）；您将得到m <= sqrt（2），th <= pi。

对于小 m，反正弦公式具有泰勒级数

th ~=~ 2*m + (m^3)/12 + ...

因此，对于较小的增量，相对旋转角度大约是矢量差大小的两倍（并且在数值上比在w接近1时使用w的余弦余弦更可靠）。

Answer 2

矩阵 1 的偏航角大于 90 度，矩阵 2 小于 90 度。这将导致两者的偏航角余弦具有不同的符号，这会翻转您的四元数。

一个可能的解决方案是检查w四元数的值。如果这是负数，您可以翻转它。