如何使用R中的QR分解计算最小二乘估计的方差？

Question

我正在尝试学习QR分解,但无法在不借助传统矩阵计算的情况下弄清楚如何获得beta_hat的方差.我正在练习iris数据集,这是我到目前为止所拥有的:

y<-(iris$Sepal.Length)
x<-(iris$Sepal.Width)
X<-cbind(1,x)
n<-nrow(X)
p<-ncol(X)
qr.X<-qr(X)
b<-(t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]
R<-qr.R(qr.X)
beta<-as.vector(backsolve(R,b))
res<-as.vector(y-X %*% beta)

谢谢你的帮助!

Answer 1

设置(在代码中复制)

y <- iris$Sepal.Length
x <- iris$Sepal.Width
X <- cbind(1,x)
n <- nrow(X)
p <- ncol(X)
qr.X <- qr(X)
b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p]  ## can be optimized; see Remark 1 below
R <- qr.R(qr.X)  ## can be optimized; see Remark 2 below
beta <- as.vector(backsolve(R, b))
res <- as.vector(y - X %*% beta)

数学

计算

剩余自由度是n - p,所以估计方差是

se2 <- sum(res ^ 2) / (n - p)

因此,估计系数的方差协方差矩阵是

V <- chol2inv(R) * se2

#           [,1]         [,2]
#[1,]  0.22934170 -0.07352916
#[2,] -0.07352916  0.02405009

验证

让我们通过比较来检查正确性lm:

fit <- lm(Sepal.Length ~ Sepal.Width, iris)

vcov(fit)

#            (Intercept) Sepal.Width
#(Intercept)  0.22934170 -0.07352916
#Sepal.Width -0.07352916  0.02405009

相同的结果!

备注1(跳过形成'Q'因子)

而不是b <- (t(qr.Q(qr.X)) %*% y)[1:p],你可以使用函数qr.qty(以避免形成'Q'矩阵):

b <- qr.qty(qr.X, y)[1:p]

备注2(跳过形成'R'因子)

你不必提取R <- qr.R(qr.X)的backsolve; 使用qr.X$qr就足够了:

beta <- as.vector(backsolve(qr.X$qr, b))

附录:估算功能

以上是最简单的演示.在实践中,需要处理列旋转和秩缺陷.以下是一个实现.X是一个模型矩阵,y是响应.结果应与之比较lm(y ~ X + 0).

qr_estimation <- function (X, y) {
  ## QR factorization
  QR <- qr(X)
  r <- QR$rank
  piv <- QR$pivot[1:r]
  ## estimate identifiable coefficients
  b <- qr.qty(QR, y)[1:r]
  beta <- backsolve(QR$qr, b, r)
  ## fitted values
  yhat <- base::c(X[, piv] %*% beta)
  ## residuals
  resi <- y - yhat
  ## error variance
  se2 <- base::c(crossprod(resi)) / (nrow(X) - r)
  ## variance-covariance for coefficients
  V <- chol2inv(QR$qr, r) * se2
  ## post-processing on pivoting and rank-deficiency
  p <- ncol(X)
  beta_full <- rep.int(NA_real_, p)
  beta_full[piv] <- beta
  V_full <- matrix(NA_real_, p, p)
  V_full[piv, piv] <- V
  ## return
  list(coefficients = beta_full, vcov = V_full,
       fitted.values = yhat, residuals = resi, sig = sqrt(se2))
  }