将平面网格变形为球体

Question

美好的一天，

目前，我正在尝试将飞机弯曲到一个球体。我已经准备好尝试将Mercator投影与lla一起使用到efef。因此结果有所延缓，但它不像球形（半球形）。最成功的变体如下所示（更像是帐篷，而不是半球）：

该帐篷的代码（pastebin）。我正在使用three.js进行渲染。

因此，我需要一些建议。我做错了什么？

Answer 1

使用球坐标系。角度long,lat是平面中的2D线性u,v坐标，输出是3D x,y,z。

1. 将平面网格的顶点（点）转换为球面

   我怀疑您的表格有积分，(x,y,z)因此您需要先计算u,v。设U,V在平面上的垂直单位基向量。可以通过在平面网格上减去2个点，标准化大小并利用叉积来确保垂直性来获得它们。所以：

   u = `dot_product((x,y,z),U)` = x*U.x + y*U.y + z*U.z
   v = `dot_product((x,y,z),V)` = x*V.x + y*V.y + z*V.z
   

   现在转换为球面角：

   long=6.2831853*u/u_size_of_mesh
   lat =3.1415926*v/v_size_of_mesh
   

   最后(x,y,z)在球面上计算新的：

   x = R*cos(lat)*cos(long)
   y = R*cos(lat)*sin(long)
   z = R*sin(lat)
   

2. 啮合

   平面网格必须具有足够密集的点结构（足够的三角形/面），否则球体将无法正常显示。另一个问题是平面网格确实没有边缘和球体表面。Ti s可能会在连接平面边缘的球体表面上产生外观/间隙。如果要避免这种情况，可以在平面网格的相对两侧的边缘之间添加面以填充间隙，也可以完全抛弃网格并使用均匀的点网格重新采样平面。

   如果要完全重新采样网格，则最好的方法是首先创建常规球体网格，例如：

   通过网格细分对球进行三角剖分

   然后通过逆过程计算到＃1平面上的对应点，以便您可以插值点的其他参数（例如颜色，纹理坐标等）

[笔记]

如果要对此进行动画处理，则只需在原始平面点P0(x,y,z)和相应的球面点之间P1(x,y,z)使用带有动画参数的线性插值，t=<0.0,1.0>如下所示：

P = P0 + (P1-P0)*t

如果是，t=0则输出为平面网格，否则t=1为球面。包装过程之间的任何地方都可以，因此请t以1足够小的步长（例如0.01）递增，并在某个计时器中进行渲染...

[Edit1] U，V基向量

这个想法很简单，获得2个非平行向量并更改其中一个向量，使其垂直于第一个但仍在同一平面上。

1. 采取任何网状的面孔

   例如三角形ABC

2. 计算平面上的2个非零非平行向量

   只需减去任意两对顶点即可，例如：

   U.x=B.x-A.x
   U.y=B.y-A.y
   V.x=C.x-A.x
   V.y=C.y-A.y
   

   并使其尺寸统一，因此将其除以尺寸

   ul=sqrt((U.x*U.x)+(U.y*U.y))
   vl=sqrt((V.x*V.x)+(V.y*V.y))
   U.x/=ul
   U.y/=ul
   V.x/=vl
   V.y/=vl
   

3. 使它们垂直

   因此，一个向量保持不变（例如U），然后计算另一个向量，使其垂直。为此，您可以使用交叉产品。两个单位向量的叉积是垂直于两个单位向量的新单位向量。这2种可能性中的哪一种仅取决于操作数（(U x V) = - (V x U)）的顺序，因此例如：

   // W is perpendicular to U,V
   W.x=(U.y*V.z)-(U.z*V.y)
   W.y=(U.z*V.x)-(U.x*V.z)
   W.z=(U.x*V.y)-(U.y*V.x)
   // V is perpendicular to U,W
   V.x=(U.y*W.z)-(U.z*W.y)
   V.y=(U.z*W.x)-(U.x*W.z)
   V.z=(U.x*W.y)-(U.y*W.x)
   

   的W只是暂时的矢量（图像中它被称为V'）顺便说一句它是法向矢量的表面。

   

4. 大小和对齐方式

   现在，因为我没有有关您的网格的更多信息，所以我不知道其形状，大小等信息。理想的情况是网格是矩形且U,V矢量与边缘对齐。在这种情况下，您只需按每个方向上的矩形大小对坐标进行归一化（如左图所示）。

   如果您的网格不是这样，并且您是U,V通过这种方法从面计算的，那么结果可能根本不与边缘对齐（它们可以旋转任何角度）...

   

   如果无法避免这种情况（通过选择拐角面），则形状的拐角点将在每个边缘上具有各种坐标限制，并且您需要以某种完整的含义将它们插值或映射到正确的球面间隔（不能更具体一点，因为我不知道您到底在做什么。

   对于几乎为矩形的形状，有时可以使用边缘，U,V即使它们彼此之间并非完全垂直。

[Edit2] C ++示例

好吧，如果您得到的Z轴上有一些噪声的完全对齐的方形网格（如高度图），那么这就是我进行网格转换的方式：

u = `dot_product((x,y,z),U)` = x*U.x + y*U.y + z*U.z
v = `dot_product((x,y,z),V)` = x*V.x + y*V.y + z*V.z

我使用了我的动态列表模板，因此：

• List<double> xxx; 是相同的 double xxx[];
• xxx.add(5);添加5到列表的末尾
• xxx[7] 访问数组元素（安全）
• xxx.dat[7] 访问数组元素（不安全但快速直接访问）
• xxx.num 是数组的实际使用大小
• xxx.reset() 清除数组并设置xxx.num = 0
• xxx.allocate(100)为100项目预分配空间

用法如下：

mesh_init();
mesh_sphere();

结果如下：

左侧是生成的带有噪声的平面网格，右侧是转换后的结果。

该代码反映了以上所有内容，并在球体半径上添加了Z-噪声以保留要素。以标准方式从几何体重新计算法线。对于整个TBN矩阵，您需要拓扑中的连接信息并从中进行重新计算（或利用球体几何体并从中使用TBN。

顺便说一句，如果要映射到球体而不是网格转换，则应查看相关的质量检查：

• 法线贴图严重错误
• 使用纹理贴图凹凸贴图球体
• 应用球体的地球贴图
• 为球体（行星）制作无缝的高度图纹理
• 将地球的卫星照片转换为球体上的纹理贴图（OpenGL ES）