如何计算给定Python中分布的样本列表的值的概率？

Question

不确定这是否属于统计数据,但我正在尝试使用Python来实现这一目标.我基本上只有一个整数列表:

data = [300,244,543,1011,300,125,300 ... ]

我想知道给定数据的概率值.我使用matplotlib绘制了数据的直方图,并获得了这些:

在第一个图中,数字表示序列中的字符数.在第二个图中,它是一个测量的时间量,以毫秒为单位.最小值大于零,但不一定是最大值.图表是使用数百万个示例创建的,但我不确定我是否可以对分布做出任何其他假设.我想知道一个新值的可能性,因为我有几百万个值的例子.在第一张图中,我有几百万个不同长度的序列.例如,想知道200长度的概率.

我知道,对于连续分布,任何精确点的概率应该为零,但是给定一个新值流,我需要能够说出每个值的可能性.我已经查看了一些numpy/scipy概率密度函数,但是我不知道在运行类似scipy.stats.norm.pdf(data)之后可以选择哪个或如何查询新值.似乎不同的概率密度函数将以不同的方式拟合数据.鉴于直方图的形状我不知道如何决定使用哪个.

Answer 1

由于您似乎没有特定的分布,但您可能有大量的数据样本,我建议使用非参数密度估算方法.您描述的数据类型之一(以毫秒为单位)显然是连续的,并且连续随机变量的概率密度函数(PDF)的非参数估计的一种方法是您已经提到的直方图.但是,正如您将在下面看到的,核密度估计(KDE)可能更好.您描述的第二类数据(序列中的字符数)属于离散类型.在这里,核密度估计也可以是有用的,并且可以被视为平滑技术,用于对于离散变量的所有值没有足够量的样本的情况.

估算密度

下面的示例显示了如何首先从2个高斯分布的混合生成数据样本,然后应用核密度估计来查找概率密度函数:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.mlab as mlab
from sklearn.neighbors import KernelDensity

# Generate random samples from a mixture of 2 Gaussians
# with modes at 5 and 10
data = np.concatenate((5 + np.random.randn(10, 1),
                       10 + np.random.randn(30, 1)))

# Plot the true distribution
x = np.linspace(0, 16, 1000)[:, np.newaxis]
norm_vals = mlab.normpdf(x, 5, 1) * 0.25 + mlab.normpdf(x, 10, 1) * 0.75
plt.plot(x, norm_vals)

# Plot the data using a normalized histogram
plt.hist(data, 50, normed=True)

# Do kernel density estimation
kd = KernelDensity(kernel='gaussian', bandwidth=0.75).fit(data)

# Plot the estimated densty
kd_vals = np.exp(kd.score_samples(x))
plt.plot(x, kd_vals)

# Show the plots
plt.show()

这将生成以下图,其中真实分布以蓝色显示,直方图以绿色显示,使用KDE估算的PDF以红色显示:

正如您所看到的,在这种情况下,直方图近似的PDF不是很有用,而KDE提供了更好的估计.但是,如果有大量的数据样本和适当的bin大小选择,直方图也可能产生良好的估计.

在KDE的情况下,您可以调整的参数是内核和带宽.您可以将内核视为估计PDF的构建块,并且Scikit Learn中提供了几个内核函数:高斯,高帽,epanechnikov,指数,线性,余弦.通过更改带宽,您可以调整偏差 - 方差权衡.较大的带宽将导致偏置增加,如果您拥有较少的数据样本,这是很好的.较小的带宽将增加方差(估计中包括较少的样本),但是当更多样本可用时将给出更好的估计.

计算概率

对于PDF,通过计算一系列值的积分来获得概率.正如您所注意到的那样,这将导致特定值的概率为0.

Scikit Learn似乎没有用于计算概率的内置函数.但是,很容易估计PDF在一定范围内的积分.我们可以通过在范围内多次评估PDF并将获得的值乘以每个评估点之间的步长来求和.在下面的示例中,N通过步骤获得样本step.

# Get probability for range of values
start = 5  # Start of the range
end = 6    # End of the range
N = 100    # Number of evaluation points 
step = (end - start) / (N - 1)  # Step size
x = np.linspace(start, end, N)[:, np.newaxis]  # Generate values in the range
kd_vals = np.exp(kd.score_samples(x))  # Get PDF values for each x
probability = np.sum(kd_vals * step)  # Approximate the integral of the PDF
print(probability)

请注意,kd.score_samples生成数据样本的对数似然.因此,np.exp需要获得可能性.

可以使用内置的SciPy集成方法执行相同的计算,这将提供更准确的结果:

from scipy.integrate import quad
probability = quad(lambda x: np.exp(kd.score_samples(x)), start, end)[0]

例如,对于一次运行,第一种方法计算概率为0.0859024655305,而第二种方法产生0.0850974209996139.

Answer 2

这是一种可能的解决方案。您计算原始列表中每个值出现的次数。给定值的未来概率是其过去的发生率，即过去发生的次数除以原始列表的长度。在 Python 中它非常简单：

x 是给定的值列表

from collections import Counter
c = Counter(x)

def probability(a):
    # returns the probability of a given number a
    return float(c[a]) / len(x)

Answer 3

好吧我以此为出发点,但估算密度是一个非常广泛的主题.对于涉及序列中字符数量的情况,我们可以使用经验概率从直接的频率论角度对此进行建模.在这里,概率本质上是百分比概念的概括.在我们的模型中,样本空间是离散的,并且都是正整数.那么,您只需计算事件数并除以事件总数即可得出概率估计值.在任何我们没有观察到的地方,我们对概率的估计为零.

>>> samples = [1,1,2,3,2,2,7,8,3,4,1,1,2,6,5,4,8,9,4,3]
>>> from collections import Counter
>>> counts = Counter(samples)
>>> counts
Counter({1: 4, 2: 4, 3: 3, 4: 3, 8: 2, 5: 1, 6: 1, 7: 1, 9: 1})
>>> total = sum(counts.values())
>>> total
20
>>> probability_mass = {k:v/total for k,v in counts.items()}
>>> probability_mass
{1: 0.2, 2: 0.2, 3: 0.15, 4: 0.15, 5: 0.05, 6: 0.05, 7: 0.05, 8: 0.1, 9: 0.05}
>>> probability_mass.get(2,0)
0.2
>>> probability_mass.get(12,0)
0

现在,对于您的计时数据,将其建模为连续分布更为自然.您应该采用非参数方法,而不是使用参数化方法,假设您的数据具有某种分布,然后将该分布拟合到数据中.一种直接的方法是使用核密度估计.您可以简单地将其视为平滑直方图的一种方法,以便为您提供连续的概率密度函数.有几个库可用.也许最简单的单变量数据是scipy的:

>>> import scipy.stats
>>> kde = scipy.stats.gaussian_kde(samples)
>>> kde.pdf(2)
array([ 0.15086911])

要在某个时间间隔内获得观察的概率:

>>> kde.integrate_box_1d(1,2)
0.13855869478828692