如何找到经验累积密度函数（ECDF）的分位数

Question

我正在使用ecdf()函数从一些随机样本中计算经验累积密度函数（ECDF）：

set.seed(0)
X = rnorm(100)
P = ecdf(X)

现在P给出ECDF，我们可以绘制它：

plot(P)
abline(h = 0.6, lty = 3)

我的问题是：如何找到样本值x，例如P(x) = 0.6ECDF的0.6位数，或ECDF与的交点的x坐标h = 0.6？

Answer 1

在下文中，我将不使用ecdf()，因为我们自己很容易获得经验累积密度函数（ECDF）。

首先，我们X按升序对样本进行排序：

X <- sort(X)

这些样本的ECDF取函数值：

e_cdf <- 1:length(X) / length(X)

然后，我们可以通过以下方式绘制ECDF：

plot(X, e_cdf, type = "s")
abline(h = 0.6, lty = 3)

现在，我们正在寻找的第一个值X，例如P(X) >= 0.6。这只是：

X[which(e_cdf >= 0.6)[1]]
# [1] 0.2290196

由于我们的数据是从标准正态分布中采样的，因此理论分位数为

qnorm(0.6)
# [1] 0.2533471

因此，我们的结果非常接近。

延期

由于CDF的倒数是分位数函数（例如，pnorm()is 的倒数qnorm()），因此可以将ECDF的倒数猜测为样本分位数，即，反数ecdf()是quantile()。这不是真的！

ECDF是阶梯/步函数，它没有逆函数。如果我们绕ECDF旋转y = x，则所得曲线不是数学函数。因此，样本分位数与ECDF无关。

对于n排序的样品，样品分位数功能实际上是线性插值函数的(x, y)，具有：

• x值是seq(0, 1, length = n);
• y值正在排序样本。

我们可以通过以下方式定义自己的样本分位数函数版本：

my_quantile <- function(x, prob) {
  if (is.unsorted(x)) x <- sort(x)
  n <- length(x)
  approx(seq(0, 1, length = n), x, prob)$y
  }

让我们进行测试：

my_quantile(x, 0.6)
# [1] 0.2343171

quantile(x, prob = 0.6, names = FALSE)
# [1] 0.2343171

请注意，结果与我们得到的结果不同X[which(e_cdf >= 0.6)[1]]。

出于这个原因，我拒绝quantile()在答案中使用。