为什么非线性实数算术可判定而非线性整数算术不可判定？

Question

我知道非线性整数算术基本上是希尔伯特的第十个问题，并且被证明是不可判定的。然而，Z3 求解器能够为非线性实数算法提供完整的解决方案。我只是好奇这两个问题之间的根本区别是什么，以便有一个确定的非线性实数算法？

似乎有一篇关于 Z3 实现非线性多项式实数算法的论文。我没有很强的正式方法/数学背景。对这个问题背后的任何直觉表示赞赏！

Answer 1

考虑到您知道非线性实数算术是可判定的，而非线性整数算术不是可判定的，您最好希望的是更好的直觉和一些示例来帮助您理解 QF_NRA 与 QF_NIA 有何不同。

我在这个答案中举了几个例子。我再给出一个：考虑方程y = x ²。如果x和y是实数，则y加上或减去x的平方根（假设x为非负数）。然而，如果您说x和y必须是整数，则y = x ²可能有解，也可能没有解，具体取决于x的值。

基本事实是，如果你的变量是实数，很多数学问题就很容易解决，但如果你的变量必须是整数，那么解决起来就会困难得多，而且在某些情况下，它们甚至可能没有解决方案。