对于给定的旋转，旋转矩阵是否唯一？

Question

我发现两个旋转矩阵

rot1 = [    0.8736    0.2915   -0.3897;
           -0.4011    0.8848   -0.2373;
            0.2756    0.3636    0.8898]

rot2 = [    0.9874   -0.1420   -0.0700;
            0.0700    0.7880   -0.6117;
            0.1420    0.5991    0.7880]

当向量相乘时

wpt = [200 200 200] 

产生相同的结果

cpt = [155.0812 49.2660 305.8148] 

谁能解释一下吗？

Answer 1

你实际上在这里问两个问题。

旋转矩阵唯一吗？

是的，弗朗西斯科引用的这个答案很好地解释了这一点。如果它们不是唯一的，则Q v = R v，因此 (QR)*v = 0对于任何向量都成立。然而，后者仅适用于零矩阵。

它可能会帮助您查看两次旋转的角轴表示，以查看它们是否不相同（格式为 x、y、z 和角度）：

>> vrrotmat2vec(rot1)

    0.5304   -0.5873   -0.6114    0.6022

>> vrrotmat2vec(rot2)

    0.9707   -0.1700    0.1700    0.6734

或者，您可以查看旋转矩阵的每一行（它们代表旋转空间的单位向量），并看到它们彼此不同。（来源，属性 3 和 4）

为什么这两个旋转矩阵对该向量给出相同的结果？

因为一个点可以通过无限多次旋转映射到另一个点。对于围绕同一中心的任何两次旋转，某些点*最终会移动到同一位置。如果愿意，rot1 和 rot2 会将您的点 wpt 沿着 3D 空间中的不同旋转弧移动到 cpt。

由于该图在 2D 中确实没有帮助，并且您似乎可以访问 MATLAB，因此您可以自己生成图形并使用以下代码平移它：

vr1 = vrrotmat2vec(rot1);
vr2 = vrrotmat2vec(rot2);
v = [1;1;1];
arc1 = [];
arc2 = [];
for i = 1:50
    a = vrrotvec2mat([vr1(1:3) i*vr1(4)/50]);
    arc1 = [arc1; (a*v)'];
    a = vrrotvec2mat([vr2(1:3) i*vr2(4)/50]);
    arc2 = [arc2; (a*v)'];
end

%% Drawing
% Arcs
plot3(arc1(:,1), arc1(:,2), arc1(:,3))
hold on
plot3(arc2(:,1), arc2(:,2), arc2(:,3))

% Unit vectors
arrow([0 0 0], [1 0 0]);
arrow([0 0 0], [0 1 0]);
arrow([0 0 0], [0 0 1]);

% Rotation axes
arrow([0 0 0], vr1(1:3), 'EdgeColor','b','FaceColor','g');
arrow([0 0 0], vr2(1:3), 'EdgeColor','r','FaceColor','g');

axis square

* 我猜测这些点恰好位于两条线上，但我无法支持这一点。