使用sklearn.datasets进行PyMC3贝叶斯线性回归预测

Question

我一直在试图实现贝叶斯线性回归使用模型PyMC3与真实数据(即不是从线性函数+高斯噪声)从数据集sklearn.datasets.我选择了具有最小数量的属性(即load_diabetes())形状为的回归数据集(442, 10); 就是,442 samples和10 attributes.

我相信我的模型正在运行,后面看起来还不错,可以预测并弄清楚这些东西是如何起作用的......但我意识到我不知道如何使用这些贝叶斯模型进行预测!我试图避免使用glm和patsy符号,因为我很难理解使用它时实际发生了什么.

我尝试了以下内容: 从pymc3 和http://pymc-devs.github.io/pymc3/posterior_predictive/中的推断参数生成预测,但我的模型在预测时非常糟糕,或者我做错了.

如果我实际上正在做正确的预测(我可能不是),那么任何人都可以帮助我优化我的模型.我不知道是否最少mean squared error,absolute error或类似的东西在贝叶斯框架中有效.理想情况下,我想得到一个number_of_rows数组=我的X_te属性/数据测试集中的行数,以及来自后验分布的样本列数.

import pymc3 as pm
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns; sns.set()
from scipy import stats, optimize
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from theano import shared

np.random.seed(9)

%matplotlib inline

#Load the Data
diabetes_data = load_diabetes()
X, y_ = diabetes_data.data, diabetes_data.target

#Split Data
X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X,y_,test_size=0.25, random_state=0)

#Shapes
X.shape, y_.shape, X_tr.shape, X_te.shape
#((442, 10), (442,), (331, 10), (111, 10))

#Preprocess data for Modeling
shA_X = shared(X_tr)

#Generate Model
linear_model = pm.Model()

with linear_model: 
    # Priors for unknown model parameters    
    alpha = pm.Normal("alpha", mu=0,sd=10)
    betas = pm.Normal("betas", mu=0,#X_tr.mean(), 
                               sd=10, 
                               shape=X.shape[1])
    sigma = pm.HalfNormal("sigma", sd=1)

    # Expected value of outcome
    mu = alpha + np.array([betas[j]*shA_X[:,j] for j in range(X.shape[1])]).sum()

    # Likelihood (sampling distribution of observations)
    likelihood = pm.Normal("likelihood", mu=mu, sd=sigma, observed=y_tr)

    # Obtain starting values via Maximum A Posteriori Estimate
    map_estimate = pm.find_MAP(model=linear_model, fmin=optimize.fmin_powell)

    # Instantiate Sampler
    step = pm.NUTS(scaling=map_estimate)

    # MCMC
    trace = pm.sample(1000, step, start=map_estimate, progressbar=True, njobs=1)


#Traceplot
pm.traceplot(trace)

# Prediction
shA_X.set_value(X_te)
ppc = pm.sample_ppc(trace, model=linear_model, samples=1000)

#What's the shape of this? 
list(ppc.items())[0][1].shape #(1000, 111) it looks like 1000 posterior samples for the 111 test samples (X_te) I gave it

#Looks like I need to transpose it to get `X_te` samples on rows and posterior distribution samples on cols

for idx in [0,1,2,3,4,5]:
    predicted_yi = list(ppc.items())[0][1].T[idx].mean()
    actual_yi = y_te[idx]
    print(predicted_yi, actual_yi)
# 158.646772735 321.0
# 160.054730647 215.0
# 149.457889418 127.0
# 139.875149489 64.0
# 146.75090354 175.0
# 156.124314452 275.0 

Answer 1

我认为你的模型的一个问题是你的数据有不同的比例,你的"Xs"有~0.3范围,你的"Ys"有~300.因此,您应该期望您的先验者指定更大的斜率(和西格玛).一个合理的选择是调整您的先验,如下例所示.

#Generate Model
linear_model = pm.Model()

with linear_model: 
    # Priors for unknown model parameters    
    alpha = pm.Normal("alpha", mu=y_tr.mean(),sd=10)
    betas = pm.Normal("betas", mu=0, sd=1000, shape=X.shape[1])
    sigma = pm.HalfNormal("sigma", sd=100) # you could also try with a HalfCauchy that has longer/fatter tails
    mu = alpha + pm.dot(betas, X_tr.T)
    likelihood = pm.Normal("likelihood", mu=mu, sd=sigma, observed=y_tr)
    step = pm.NUTS()
    trace = pm.sample(1000, step)

chain = trace[100:]
pm.traceplot(chain);

后验预测检查表明您有一个或多或少合理的模型.

sns.kdeplot(y_tr, alpha=0.5, lw=4, c='b')
for i in range(100):
    sns.kdeplot(ppc['likelihood'][i], alpha=0.1, c='g')

另一个选择是通过标准化将数据放在相同的比例中,这样做你会得到斜率应该在+ -1附近,一般来说你可以使用相同的漫反射先前的任何数据(除非你有信息,否则这是有用的)您可以使用的先验).事实上,许多人推荐这种做法用于广义线性模型.您可以在执行贝叶斯数据分析或统计重新思考的书中阅读更多相关信息

如果您想预测值,您有几个选项,一个是使用推断参数的平均值,如:

alpha_pred = chain['alpha'].mean()
betas_pred = chain['betas'].mean(axis=0)

y_pred = alpha_pred + np.dot(betas_pred, X_tr.T)

另一种选择是用于pm.sample_ppc获取预测值的样本,其中考虑了您估计的不确定性.

进行PPC的主要思想是将预测值与您的数据进行比较,以检查它们在何处同意以及在何处不同意.该信息可用于例如改进模型.干

pm.sample_ppc(trace, model=linear_model, samples=100)

将为您提供100个样本,每个样本具有331个预测观察值(因为在您的示例y_tr中长度为331).因此,您可以将每个预测数据点与从后部获取的大小为100的样本进行比较.您得到预测值的分布,因为后验本身就是可能参数的分布(分布反映了不确定性).关于以下参数sample_ppc:samples指定从后验获得的点数,每个点是参数的矢量. size指定使用该参数向量对预测值进行采样的次数(默认情况下size=1).

您sample_ppc在本教程中有更多使用示例