当一个变量的值已知时，解决numpy中的超定系统

Question

我正在尝试使用该函数来解决 Python 中的超定系统numpy.solve。我知道其中一个变量的值，并且我知道理论上，如果我能以某种方式插入该已知值，我可以为系统找到唯一的解决方案。

我的系统是这样的形式AxC=B。变量分为两组，一组包含 N 个变量，一组包含 T 个变量（尽管这对于数学来说并不重要）。A 是一个(T*N x T+N)矩阵，C 是长度为 的变量向量(T+N)，B 是长度为 的向量(T*N)。

我如何告诉numpy.solve（或Python中的另一个函数，但请不要推荐最小二乘法，我需要唯一的、精确的解决方案，我知道它存在）使用其中一个变量的已知值？

我的系统的一个简单示例是：

|1 0 0 1 0|     |n1|     |B1|
|1 0 0 0 1|     |n2|     |B2|
|0 1 0 1 0|  X  |n3|  =  |B3|
|0 1 0 0 1|     |t1|     |B4|
|0 0 1 1 0|     |t2|     |B5|
|0 0 1 0 1|              |B6|  

B 元素的值当然是已知的，以及其中一个变量的值，假设我知道t1=1。这些点没有任何意义，我只是把它们放在那里，这样角色就不会聚集在一起。

Answer 1

正如@Foon 指出的，执行此操作的规范方法是减去一列。

但是，顺便说一句，由于您的问题是超定的，因此您必须使用最小二乘等方法。根据定义，如果这是一个超定问题，则不存在“唯一的、精确的解决方案”。（否则它将是偶数确定的 - 方阵。）

除此之外，您可以这样做：

让我们以您的示例方程为例：

|1 0 0 1 0|     |n1|     |B1|
|1 0 0 0 1|     |n2|     |B2|
|0 1 0 1 0|  X  |n3|  =  |B3|
|0 1 0 0 1|     |t1|     |B4|
|0 0 1 1 0|     |t2|     |B5|
|0 0 1 0 1|              |B6|  

正如您所指出的，这是多定的。如果我们知道我们的“模型”变量之一（假设n1在这种情况下），它将更加过度确定。这不是问题，但这意味着我们需要使用最小二乘法，并且没有完全独特的解决方案。

所以，假设我们知道n1应该是什么。

n1在这种情况下，我们可以通过从观察向量中减去解矩阵中第一列的乘积来重新陈述问题（这就是 @Foon 的建议）：

|0 0 1 0|     |n2|     |B1 - n1|
|0 0 0 1|     |n3|     |B2 - n1|
|1 0 1 0|  X  |t1|  =  |B3 - 0 |
|1 0 0 1|     |t2|     |B4 - 0 |
|0 1 1 0|              |B5 - 0 |
|0 1 0 1|              |B6 - 0 | 

让我们用 numpy 术语来使用一个更具体的例子。我们来解方程y = Ax^2 + Bx + C。首先，让我们生成数据和“真实”模型参数：

import numpy as np

# Randomly generate two of our model variables
a, c = np.random.rand(2)
b = 1
x = np.linspace(0, 2, 6)

y = a * x**2 + b * x + c
noise = np.random.normal(0, 0.1, y.size)
y += noise

首先，我们将解决它_无需) 的知识B = 1。我们可以使用np.polyfit这个，但为了进入下一点，我们将使用一种较低级别的方法：

# I'm a geophysist, so I tend to use Gm=d instead of Ax=b
G = np.column_stack([x**2, x, np.ones_like(x)])
d = y

m, _, _, _ = np.linalg.lstsq(G, d)

print "Ideally, this would be 1: ", m[1]

正如您所看到的，我们将得到接近但不完全是 1 的值。在这种情况下（我没有设置种子，因此这会有所不同），返回的模型参数为

[ 0.13392633,  0.97217035,  0.33645734]

而真实的参数是：

[ 0.14592752,  1.        ,  0.31349185]

现在让我们考虑一下我们确切知道的事实b。我们将创建G一个少一列的新列，并b从我们的观察中减去该列时间 ( d/ y)：

G = np.column_stack([x**2, np.ones_like(x)])
d = y - b * x
m, _, _, _ = np.linalg.lstsq(G, d)

现在我们m已经[a, c]利用我们的知识解决了这两个变量b。

Answer 2

说你需要解决

|1 0 0 1 0|     |n1|     |B1|
|1 0 0 0 1|     |n2|     |B2|
|0 1 0 1 0|  X  |n3|  =  |B3|
|0 1 0 0 1|     |t1|     |B4|
|0 0 1 1 0|     |t2|     |B5|
|0 0 1 0 1|              |B6|  

你知道t1。那么你需要解决

|1 0 0 0|     |n1|     |B1| - 1 t1
|1 0 0 1|     |n2|     |B2| - 0 t1
|0 1 0 0|  X  |n3|  =  |B3| - 1 t1
|0 1 0 1|     |t2|     |B4| - 0 t1
|0 0 1 0|              |B5| - 1 t1
|0 0 1 1|              |B6| - 0 t1 

所以基本上你：

• 从矩阵中删除第 4 列

• 将右侧减去第四列乘以 t1

• 删除 t1 作为变量

一旦你有了合适的矩阵，只需调用numpy.linalg.solve（或类似的东西）即可。我建议你不要关心你是否在“做最小二乘”，或者它是否独特。让我们linalg.solve找到最优解（L2意义上）；如果解是唯一的，那么它在 L2 意义上也是唯一的。