计算2d密度表面上的点的概率

Question

如果我计算两个向量的二维密度表面,如下例所示:

library(MASS)
a <- rnorm(1000)
b <- rnorm(1000, sd=2)
f1 <- kde2d(a, b, n = 100)

我得到以下表面

filled.contour(f1)

z值是估计的密度.

我现在的问题是:是否可以计算单个点的概率,例如a = 1,b = -4

[因为我不是统计学家,这可能是错误的措辞.对不起.我想知道 - 如果这是可能的话 - 出现一个点的可能性.

感谢您的评论!

Answer 1

如果指定区域,则该区域具有相对于密度函数的概率.当然,单个点不具有与零不同的概率.但它在那时确实具有非零密度.那是什么呢？

当正常面积测量值变为零时,密度是在该区域上积分的概率密度除以正常面积测量值的积分极限.(实际上很难说正确,需要几次尝试,但仍然不是最佳的).

这一切都是基本的微积分.编写一个例程来计算该区域密度的积分也相当容易,尽管我认为MASS有标准的方法来使用更复杂的集成技术.这是我根据你的例子拼凑的快速例程:

library(MASS)
n <- 100
a <- rnorm(1000)
b <- rnorm(1000, sd=2)
f1 <- kde2d(a, b, n = 100)
lims <- c(min(a),max(a),min(b),max(b))

filled.contour(f1)

prob <- function(f,xmin,xmax,ymin,ymax,n,lims){
  ixmin <- max( 1, n*(xmin-lims[1])/(lims[2]-lims[1]) )
  ixmax <- min( n, n*(xmax-lims[1])/(lims[2]-lims[1]) )
  iymin <- max( 1, n*(ymin-lims[3])/(lims[4]-lims[3]) ) 
  iymax <- min( n, n*(ymax-lims[3])/(lims[4]-lims[3]) )
  avg <- mean(f$z[ixmin:ixmax,iymin:iymax])
  probval <- (xmax-xmin)*(ymax-ymin)*avg
  return(probval)
}
prob(f1,0.5,1.5,-4.5,-3.5,n,lims)
# [1] 0.004788993
prob(f1,-1,1,-1,1,n,lims)
# [1] 0.2224353
prob(f1,-2,2,-2,2,n,lims)
# [1] 0.5916984
prob(f1,0,1,-1,1,n,lims)
# [1] 0.119455
prob(f1,1,2,-1,1,n,lims)
# [1] 0.05093696
prob(f1,-3,3,-3,3,n,lims)
# [1] 0.8080565
lims
# [1] -3.081773  4.767588 -5.496468  7.040882

注意事项似乎是正确的,并给出了合理的答案,但它没有经历任何接近我将为生产函数提供的审查.