密集范围图像中表面法线的估计

Question

我正在尝试实施Hinterstoisser等人（2011）提出的表面法线估计，但在某些方面我不清楚：

1. 在等式（9）中，D（x）是否对应于像素位置x处的深度值（Z轴）？
2. 如何使用感兴趣点周围的8个相邻点来估算梯度？D的值？

Answer 1

1. 如前所述，D是一个密集范围图像，这意味着对于D中的任何像素位置x（其中x = [xy] ^T），D（x）是像素位置x处的深度（或简称为D（x，y））。

2. 估计最小二乘的最佳梯度

假设对于某些x，我们在D（x）中的深度值5附近具有以下邻域：

8   1   6
3   5   7
4   9   2

然后，使用泰勒展开

d X ^Ť。grad（x） + 错误 = D（x + dx）-D（x）

我们得到了邻点的八个方程

[1   0]g + e = 7 - 5
[-1  0]g + e = 3 - 5
[0   1]g + e = 9 - 5
[0  -1]g + e = 1 - 5
[1   1]g + e = 2 - 5
[1  -1]g + e = 6 - 5
[-1  1]g + e = 4 - 5
[-1 -1]g + e = 8 - 5

我们可以用矩阵形式Ag + e = b表示为

[1  0;-1  0;0  1;0 -1;1 1;1 -1;-1 1;-1 -1]g + e= [2;-2;4;-4;-3;1;-1;3]

然后最小化平方误差 || Ag-b || ₂ ²。最小化该误差的g ^{^}的解析解的形式为

g ^{^} =（A ^T A）^-1 A ^T b