Sympy:在有限域中求解矩阵

Question

对于我的项目,我需要求矩阵X给定矩阵Y和K.(XY = K)每个矩阵的元素必须是以随机256位素数为模的整数.我解决这个问题的第一次尝试使用了SymPy的mod_inv(n)功能.这个问题是我的内存耗尽了大约30的矩阵.我的下一个想法是执行矩阵分解,因为它可能对内存不太重.但是,SymPy似乎不包含可以找到模数的矩阵的求解器.我可以使用任何变通办法或自制代码吗？

Answer 1

sympy的Matrix类支持模块化逆.这是模5的示例:

from sympy import Matrix, pprint

A = Matrix([
    [5,6],
    [7,9]
])

#Find inverse of A modulo 26
A_inv = A.inv_mod(5)
pprint(A_inv)

#Prints the inverse of A modulo 5:
#[3  3]
#[    ]
#[1  0]

该rref查找行还原梯形形式方法支持一个关键字iszerofunction,指示哪些条目内的矩阵应当为零来处理.我相信预期的用途是数值稳定性(将小数字视为零),但我也用它来模块化减少.

这是模5的示例:

from sympy import Matrix, Rational, mod_inverse, pprint

B = Matrix([
        [2,2,3,2,2],
        [2,3,1,1,4],
        [0,0,0,1,0],
        [4,1,2,2,3]
])

#Find row-reduced echolon form of B modulo 5:
B_rref = B.rref(iszerofunc=lambda x: x % 5==0)

pprint(B_rref)

# Returns row-reduced echelon form of B modulo 5, along with pivot columns:
# ([1  0  7/2  0  -1], [0, 1, 3])
#  [                ]
#  [0  1  -2   0  2 ]
#  [                ]
#  [0  0   0   1  0 ]
#  [                ]
#  [0  0  -10  0  5 ]  

这是正确的,除了返回的矩阵rref[0]仍然有5个和分数.通过将mod和解释分数视为模块化反转来处理这个问题:

def mod(x,modulus):
    numer, denom = x.as_numer_denom()
    return numer*mod_inverse(denom,modulus) % modulus

pprint(B_rref[0].applyfunc(lambda x: mod(x,5)))

#returns
#[1  0  1  0  4]
#[             ]
#[0  1  3  0  2]
#[             ]
#[0  0  0  1  0]
#[             ]
#[0  0  0  0  0]