计算移动球与移动线/多边形碰撞的时间(2D)

Question

我有一个多边形,里面是一个移动的球.如果球击中边界,球应该会反弹.

我当前的'解决方案':我将多边形分成几行,并计算球何时击中移动线

所有变量:

a = length of a
b = length of b
c = length of c
ax = x position of A
ay = y position of A
bx = x position of B
by = y position of B
cx = x position of C
cy = y position of C
vax = speed of A on the x-axis
vay = speed of A on the y-axis
vbx = speed of B on the x-axis
vby = speed of B on the y-axis
vcx = speed of C on the x-axis
vcy = speed of C on the y-axis
h = height (equals r, because it collides when h is r)
r = radius
t = time (one time unit equals 1 frame. not relevant)
axc = x positon of A at the collision
ayc = y positon of A at the collision
bxc = x positon of B at the collision
byc = y positon of B at the collision
cxc = x positon of C at the collision
cyc = y positon of C at the collision

1. 计算所有点的碰撞位置:

   axc:=ax+vax*t ayc:=ay+vay*t

   bxc:=bx+vbx*t byc:=by+vby*t

   cyc:=cy+vcy*t cxc:=cx+vcx*t

2. 计算所有顶点的长度

   a:=?((axc-cxc)^(2)+(ayc-cyc)^(2))

   b:=?((bxc-cxc)^(2)+(byc-cyc)^(2))

   c:=?((axc-bxc)^(2)+(ayc-byc)^(2))

3. 计算h

   h=((?(2*(a^(2)*b^(2)+b^(2)*a^(2)+c^(2)*a^(2))-(a^(4)+b^(4)+c^(4))))/(2*c))

4. 解决问题

   solve(h=((?(2*(a^(2)*b^(2)+b^(2)*a^(2)+c^(2)*a^(2))-(a^(4)+b^(4)+c^(4))))/(2*c)), t)

BUUUUUT:我的计算器(Ti-Nspire CX CAS)崩溃了.微软数学需要花费太长时间(我现在正在计算... 1小时但仍然没有...)

所以...帮助!

(不要质疑我的涂料技巧)

Answer 1

如果你的多边形是凸的并且所有速度始终保持不变，你可以使用我刚刚想出的这一系列技巧（所以可能有一些更好的方法）：

1）通过简单地延长每行，将其替换为无限长的行。

仅当多边形是凸多边形时才可以执行此操作。考虑下图：

红线是原始多边形，绿线是无限延伸。圆圈在撞到红线之前能否撞到绿线？不。我们现在可以专注于击球无限长的线，这（至少对我来说）是更简单的任务。

2）分别计算每条线的碰撞时间，然后选择最小值

如果我们想知道一个完美的圆球是否以及何时撞到一条线，我们可以轻松地解决一个点是否撞到一条线，请考虑下图：

基本上，当圆的中心进入该线周围的区域时，圆就会碰到一条线，该区域是距离radius该线最远的所有点，其中radius是圆的半径。

因此，我们可以继续将圆替换为中心的一个点，然后将线按半径向新创建的点移动。

3）计算移动点何时碰到移动线

如果直线由两个移动点定义a，b速度为va和vb，并且该点位于c速度为 的点vc，我们可以a通过替换其他两点的位置和速度来使点静止（不移动）并位于位置 (0,0)由b-a,vb-va和c-a, vc-va.

现在让我们将b和c的新坐标和速度命名为：[bx, by],(vbx, vby)和[cx, cy], (vcx, vcy)。现在我们可以通过求解这个公式来计算出碰撞时间：

cx+t * vcx = s*bx + s*t*vbx
cy+t * vcy = s*by + s*t*vby

但是要小心：这会导致二次方程，并且您必须忽略可能的负解，这可能意味着该点正在远离直线或碰撞现在正在发生，因此请确保球尚未碰撞在你开始做任何事之前。

另外（我希望没有必要这么说）当你替换t和后s，你将不会得到最终的碰撞点，你需要撤消你所做的所有地役权（a例如添加）

如果您需要它用于非凸多边形，我有一个解决方法，所以请写在评论中。