cos泰勒级数展开的递归算法c++

Question

我最近写了一个计算机科学考试，他们要求我们给出 cos 泰勒级数展开式的递归定义。这是系列

cos(x) = 1 - x^2/2！+ x^4/4！+ x^6/6！...

函数签名如下所示

float cos(int n , float x)

其中 n 表示用户想要计算的系列中的数字， x 表示 cos 函数中 x 的值

我显然没有正确回答这个问题，过去几天我一直在试图弄清楚，但我遇到了砖墙

有没有人能帮我从某个地方开始？

Answer 1

到目前为止，所有答案每次都重新计算阶乘。我肯定不会那样做。相反，你可以写：

float cos(int n, float x)
{
    if (n > MAX)
         return 1;
    return 1 - x*x / ((2 * n - 1) * (2 * n)) * cos(n + 1, x);
}

考虑到 cos 返回以下内容（抱歉点位置）：

您可以看到，对于 n>MAX、n=MAX 等情况也是如此。x 的符号交替和幂很容易看到。

最后，在 n=1 时，您会得到 0！= 1，所以调用cos(1, x)可以得到 cos 泰勒展开式的第一个 MAX 项。

通过开发（当它的项很少时更容易看到），您可以看到第一个公式等效于以下内容：

对于 n > 0，您在 cos(n-1, x) 中除以 (2n-3)(2n-2) 前一个结果，然后乘以 x²。您可以看到，当 n=MAX+1 时，此公式为 1，n=MAX 时为 1，1-x²/((2MAX-1)2MAX)依此类推。

如果您允许自己使用辅助函数，那么您应该将上面的签名更改为float cos_helper(int n, float x, int MAX)并像这样调用它：

float cos(int n, float x) { return cos_helper(1, x, n); }

编辑：要将n评估项的度数（到目前为止的这个答案）的含义颠倒为项数（如问题中和下面），但仍然不每次都重新计算总阶乘，我建议使用两期关系。

让我们简单地定义cos(0,x) = 0和cos(1,x) = 1，并尝试一般地实现 cos(n,x) 泰勒级数的 n 个第一项的总和。

然后对于每个 n > 0，我们可以从 cos(n-1,x) 写出 cos(n,x) ：

cos(n,x) = cos(n-1,x) + x ²ⁿ / (2n)！

现在对于 n > 1，我们尝试使 cos(n-1,x) 的最后一项出现（因为它是我们想要添加的最接近的一项）：

cos(n,x) = cos(n-1,x) + x² / ((2n-1)2n) * ( x ^2n-2 / (2n-2)! )

通过将此公式与前一个公式相结合（将其调整为 n-1 而不是 n）：

cos(n,x) = cos(n-1,x) + x² / ((2n-1)2n) * ( cos(n-1,x) - cos(n-2,x) )

我们现在有了 cos(n,x) 的纯粹递归定义，没有辅助函数，没有重新计算阶乘，n 是泰勒分解总和中的项数。

但是，我必须强调以下代码的性能会很差：

• 性能明智，除非某些优化允许不重新cos(n-1,x)评估在上一步评估为cos( (n-1) - 1, x)
• 精度明智，因为抵消效应：我们得到 x ^2n-2 / (2n-2)的精度！很糟糕

现在这个免责声明已经到位，代码如下：

float cos(int n, float x)
{
    if (n < 2)
        return n;
    float c = x * x / (2 * (n - 1) * 2 * n);
    return (1-c) * cos(n-1, x) + c * cos(n-2, x);
}