使用任意精度数学的log（）算法示例

Question

我正在寻找一种可以在PHP中实现的算法，以使用任意精度数学来获取整数的自然log（）。我受到GMP库的PHP覆盖库的限制（有关PHP 中可用的GMP函数，请参见http://php.net/manual/zh/ref.gmp.php。）

如果您知道可以转换为PHP的通用算法，那也将是一个有用的起点。

我知道，PHP支持本机log（）函数，但是我希望能够使用任意精度来解决这个问题。

密切相关的是获取exp（）函数。如果我的男生数学对我来说是正确的，得到一个可以导致另一个。

Answer 1

好吧，您将拥有泰勒级数，可以对其进行重写以实现更好的收敛 $ln的改进泰勒级数：2 sum_ {k = 0 .. + inf} 1 /（2k + 1）*（（y-1）/（y + 1））^（2k + 1）$

要将等式转化为算法，您必须了解收敛级数的工作原理：每个项越来越小。这种下降发生得足够快，因此总和是一个有限值：ln（y）。

由于实数具有很好的属性，因此您可以考虑将序列收敛到ln（y）：

.. 等等。

显然，计算此序列的算法很简单：

x = (y-1)/(y+1);
z = x * x;
L = 0;
k = 0;
for(k=1; x > epsilon; k+=2)
{
    L += 2 * x / k;
    x *= z;
}

在某个时候，您的x会变得如此之小，以至于它不再会影响L的有趣数字，而只会修改更小的数字。如果这些修改对于您的目的而言太微不足道了，您可以停止。

因此，如果要达到1e ^ -20的精度，请将epsilon设置为比该值小得多，那么就可以了。

如果可以的话，请不要忘记在日志中进行分解。例如，如果它是一个理想的正方形，则ln（a²）= 2 ln（a）实际上，当（y-1）/（y + 1）较小时，该级数将收敛得更快，因此，当y较小时（或更确切地说，更近）到1，但是如果您打算使用整数，则该值应该相等。