为什么在Matlab中使用卷积矩阵而不是conv（）函数？

Question

我知道如果我们有两个向量-例如X和Y，我们可以使用在Matlab中计算它们的卷积Z = conv(X, Y)。如在Mathworks.com上所述，还有另一种方法可以通过卷积矩阵来实现：

n = length(Y);
Z = convmtx(X,n)*Y;

我有两个问题：

1. 如果可以依靠，为什么要使用卷积矩阵conv(X, Y)？
2. 引用的文档说前一种方法更有效，但不幸的是他们没有解释原因。是否主要是由于第二种方法需要计算和分配第二种方法，length(Y)还是有更多的方法（矩阵乘法比卷积运算等效率更高）？

谢谢！

编辑：我也联系了Mathworks.com，我想分享一下他们的答案：

您可以亲眼看到，如果运行此代码，conv确实会更有效。

tfs = 0; tsl = 0;
Nt = 20; sh = 500;
for kj = 1:Nt
    q = randn(10000,1); h = randn(sh,1);
    tic
    fst = conv(q,h);
    tfs = tfs+toc;
    tic
    slo = convmtx(q,sh); slo = slo*h;
    tsl = tsl+toc;
end
tfs = tfs/Nt; tsl = tsl/Nt; tsl/tfs

您可以看到conv的速度提高了大约120倍。有几种原因，但最重要的可能是conv是（几乎）内置编译函数，而convmtx是在MATLAB语言，并在调用时进行解释（即，对其进行解析，进行类型检查等）。此外，即使您确实只需要一个副本，当您调用convmtx时，您也会创建输入数组的许多副本。

Answer 1

卷积矩阵只是乘法后将产生与卷积相同结果的矩阵。它始终是Toeplitz矩阵。

卷积矩阵不适用于卷积的实际计算。它的应用是在需要将卷积表示为矩阵乘法的情况下。

作为类比，考虑离散傅里叶变换（DFT）。众所周知，DFT几乎总是使用非常高效的FFT算法进行计算。但是，您可以根据需要将DFT表示为矩阵。您永远不会将其用于DFT的实际计算。但是从概念上讲，它有时有助于将DFT表示为矩阵乘法。例如，这允许人们将DFT视为向量空间中基础的变化。