我对FFT和音高检测的理解是否正确？

Question

关于FFT和音调检测,Stackoverflow及其他方面已经进行了无数次讨论.

人们普遍认为,虽然快速,但对于许多应用来说,FFT并不是非常准确,但它并不经常解释原因.

我想解释一下为什么会出现这种情况的理解,希望比我更聪明的人能够纠正我并填补我无法做到的空白.

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FFT将输入数据从时域转换到频域.

最初,我们从一系列数据开始,如果我们要绘制在图表上,将在Y轴上的给定时间点具有声音的幅度,并且沿X轴具有时间.这是在时域.

FFT将这些时间点的振幅值转换为不同频率的振幅.

从FFT输出的数据的数量是SAME作为数据输入的数量

如果我们输入10个时间点的幅度(10个样本),FFT将输出这些样本中10个不同频率的幅度(在乘以虚数和实数的sqrt之后).

哪些频率由以下因素决定:

我们将FFT的输出称为bin,通过将采样率除以FFT中的采样数来计算每个bin的宽度:

bin width = Sample Rate(Hz)/FFT Length (n samples)

有了一些真正的价值,那可能是:

bin_width = 44100/512 = 86.132

因此,我们的FFT有512个区间(记住它的数据与输出数据相同),每个区域的频率为86.132 Hz.

因此,对于给定的bin,我们可以计算它代表的频率:

Bin Freq (Hz) = Bin number (n) * bin width (Hz)

使用上面的值,FFT输出中的第3个bin表示258.398Hz的幅度:

Bin Freq (Hz) = 3 * 86.132 = 258.396Hz

这意味着对于给定的采样率和缓冲区大小,FFT输出不能比±86.132Hz更精确.

如果您需要更高的精度(例如1Hz),则必须降低采样率或增加缓冲区大小(或两者).

desired bin width: 1Hz = 44100 / 44100  # A buffer size of 44100 would work in this instance 

随着缓冲区大小越来越接近采样率,延迟问题变得更加严重.

FFT Results per second = Sample Rate / Buffer Size = 44100/44100 = 1 FFT per second

(每秒44100个样本,填充44100个样本缓冲区=每秒1个完整缓冲区).

我意识到FFT不仅仅是计算基频(具有最高振幅的箱子),而且到目前为止我对Pitch Detection中FFT的理解是否正确？

有没有办法在不牺牲延迟的情况下提高FFT的准确性？

Answer 1

除了 @HartmutPfitzinger 推荐零填充和插值的好答案之外，值得指出的是，从限时信号提取的傅立叶变换中获得的信息存在重要的基本限制。

考虑零填充的极限情况 - 例如，获取单个样本，然后将其填充到 1 秒持续时间，以便进行分辨率为 1 Hz 的傅里叶变换。很明显，非常短的信号片段根本不包含有关周期性的信息。直观上，我们需要一个比所讨论的周期更长的片段，以便能够判断信号是否真的在该周期重复。

如果我们对周期信号的形状有限制，我们可以做得更好。例如，如果我们只寻找单个正弦曲线（即，我们知道我们的信号是 s(t) = A*cos(w*t + phi)），那么我们可以求解未知的幅度 A、频率 w 和相位phi 使用少至三个 s(t) 样本。然而，我们很少看到完全符合该公式的信号。至少我们预计会增加噪声，但大多数情况下我们会产生大量谐波，即未知的非正弦周期波形。

如果您尝试实现上面建议的插值峰值选取和/或零填充，然后查看当您缩短信号摘录时获得的结果（同时保持 FFT 长度相同），您将看到不确定性（错误）随着片段变短而增长 - 当片段短于您要测量的周期长度的两倍左右时，您可能会得到无用的结果。

这说明了一个有点违反直觉但非常基本的限制：很难根据短于 T 秒的观察来确定信号的频率是否优于 1/T Hz。这有时被称为不确定性原理，在数学上它与量子力学中的海森堡不确定性原理相同。

最后，我用来提高离散傅立叶变换分辨率的另一项技术是瞬时频率，如下所述：

Toshihiko Abe、Takao Kobayashi、Satoshi Imai：基于瞬时频率的噪声环境中的稳健基音估计和谐波增强。ICSLP 1996（您可以在线找到 PDF，我的链接限额已用完）。

频率只是相位对时间的导数；事实证明，您可以使用“按部分求导”，通过使用不同的窗函数（一个是另一个的导数）组合两个 FFT 的实部和虚部，直接计算每个 FFT 箱中的瞬时频率。有关 Matlab 实现，请参阅

http://labrosa.ee.columbia.edu/matlab/chroma-ansyn/ifgram.m

或者在Python中：

https://github.com/bmcfee/librosa/blob/master/librosa/core.py#L343