从两个3D矢量定义的旋转计算3x3旋转矩阵的有效方法

Question

虽然我已经找到了2个解决方案,但我很好奇是否有众所周知的方法来执行此操作,因为它似乎是一个相当常见的任务.

这里有两个明显的方法psudo-code ...

轴角

这是非常合乎逻辑的,但是调用sin两次和cos一次(在角度计算和轴角度到矩阵转换).

Matrix3x3 rotation_between_vectors_to_matrix(const Vector v1, const Vector v2)
{
    angle = v1.angle(v2);
    axis  = v1.cross(v2);

    /* maths for this is well known */
    Matrix3x3 matrix = axis_angle_to_matrix(axis, angle);

    return matrix;
}

编辑:最简单的功能是相当慢的,但正如在这里的回复中所指出的那样:通过分别从轴长度和点积得到angle_sin和可以避免计算角度.angle_cosv1,v2

两个矩阵之间的差异

这是我发现的另一种方法,它从向量构造两个3x3矩阵并返回差异.

然而,这比可以优化的轴/角度计算慢(如上所述).

注意.假设两个向量都是标准化的,矩阵是列主要的(OpenGL).

Matrix3x3 rotation_between_vectors_to_matrix(const Vector v1, const Vector v2)
{
    Matrix3x3 m1, m2;

    axis = v1.cross(v2);
    axis.normalize();

    /* construct 2 matrices */
    m1[0] = v1;
    m2[0] = v2;

    m1[1] = axis;
    m2[1] = axis;

    m1[2] = m1[1].cross(m1[0]);
    m2[2] = m2[1].cross(m2[0]);

    /* calculate the difference between m1 and m2 */
    m1.transpose();

    Matrix3x3 matrix = m2 * m1;

    return matrix;
}

有没有更好的方法来执行此计算？

编辑:这个问题的目的不是微观优化和基准测试每个方法.相反 - 我很好奇是否有一些我不知道的完全不同和优越的方法.

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注意:我故意省略了对共线向量(其中轴为零长度)的退化情况的检查,以保持示例简单.

Answer 1

您发布的两种方法都可以优化。

方法一

与其使用acos求两个向量之间的角度，不如完全避免求角度。如何？Rodrigues的轴角公式只需要sin ?,cos ?和1 - cos ?，因此找到实际角度是多余的。

我们知道v1和v2是单位向量；v1 · v2 = |v1| |v2| cos ?因为|v1| = |v2| = 1，v1 · v2直接给我们cos ?，寻找1 - cos ?并不昂贵。v1 × v2 = |v1| |v2| sin ? n = sin ? n，其中n是垂直于v1和的单位向量v2，找到|v1 × v2|叉积的大小将直接给出sin ?。

现在我们已经sin ?和cos ?，我们可以直接使用 Rodrigues forumla 形成旋转矩阵；这是一个简单的实现（尽管页面声称使用四元数数学，但它是轴角到矩阵的转换公式）。

方法二

在将两个正交框架构造为矩阵后，您可以避免进行第二次转置。这是证据。

说A并B成为两个矩阵，因为你想从A到B我们需要一些矩阵X，当乘以时A会给出B：

XA = B

X = BA?¹

这就是你所需要的；当你预乘X到A你会得到B。然而，你发现的是Y

Y = AB?¹

YB = A

然后你转置Y得到Y?¹即

Y?¹YB = Y?¹A

B = Y?¹A

您可以只执行上述仅涉及一个转置的方法，而不是执行两次反转（此处转置）。

我仍然会说，如果不对优化形式的方法进行基准测试，我们不能说方法 2 比方法 1 快。一个结论。