如何将椭圆分成相等的段？

Question

这将计算椭圆上的顶点坐标：

function calculateEllipse(a, b, angle) 
{
    var alpha = angle * (Math.PI / 180) ;
    var sinalpha = Math.sin(alpha);
    var cosalpha = Math.cos(alpha);

    var X = a * cosalpha - b * sinalpha;
    var Y = a * cosalpha + b * sinalpha;
}

但是如何计算“角度”以获得相等或大致相等的圆周段？

Answer 1

因此，从 Jozi 在 OP 评论中所说的来看，需要的不是如何将椭圆细分为相等的线段（这将需要一大堆可怕的积分），而是从大致相等长度的线段构造一个椭圆。

有很多方法可以做到这一点，但我认为最适合OP目的的是同心圆方法，在页面上列为“绘图员方法”。如果您不介意安装 Mathematica 播放器，这里有一个简洁的小应用程序，它以交互方式演示了它。

这些方法的问题在于，段长度仅在低偏心率下大致相等。如果你正在处理极端怪异的事情，事情就会变得更加复杂。我能想到的最简单的解决方案是线性近似每个象限内线段的长度，然后精确求解该象限内端点的位置。

详细来说：这是一个椭圆象限，其参数为a = 5, b = 1：

这是每个角度的角度 的无穷小变化所对的弧长的图：

x轴是角度（以弧度为单位），y轴是角度变化 1 弧度所对应的弧长。可以使用我刚刚链接的维基百科文章中的方程导出的公式是。但需要注意的重要一点是，该函数的积分（该曲线下的面积）是整个象限中弧的长度。y = Sqrt(a^2 Sin^2(x) + b^2 Cos^2(x))

现在，我们可以用一条直线来近似它：

它有梯度m = (a-b) / (Pi/2)和y截距c = b。使用简单的几何图形，我们可以推断出红色曲线下方的面积为A = (a+b)*Pi/4。

利用这些知识，以及曲线下面积是曲线总长度的知识，构造椭圆近似的问题可以简化为寻找中点法则求积（其他求积也可以，但这是最简单）的红线，使得每个矩形具有相等的面积。

将该句子转换为方程，并用矩形的左边界x和宽度表示矩形在正交中的位置w，我们得到：

(v*m)*w^2 + (m*x+c)*w - A/k == 0

其中k是我们想要用来近似象限的块数，v是我很快就会谈到的加权函数。这可用于通过首先设置x0 = 0并求解来构建求积w0，然后使用该求积来设置x1 = w0并求解w1。然后设置x2 = w1等，直到获得所有k左侧边界点。第k+1一个边界点显然是Pi/2。

加权函数v有效地表示矩形与红线相交的位置。常数v = 0.5相当于它在中间交叉，并得到 10 分：

但你可以尝试一下，看看什么可以更好地平衡这些点。理想情况下，它应该保持在范围内[0, 1]，并且您使用的值的总和应该为k/2。

如果您想要更好的近似值，而又不想弄乱权重函数，您可以尝试使用最小二乘法拟合直线，而不仅仅是将其拟合到端点，或者您可以尝试将三次多项式拟合到蓝色曲线而不是线性多项式。这需要解决四次方程，但如果你手头有数学包，那应该不是问题。